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Wiki-Quellcode von Lösung Kongruente Dreiecke

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/10/08 18:46
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1 [[image:kongruenteDreiecke.png||width="250" style="float: right"]]
2 Um zu zeigen, dass die Dreiecke ABC und BDE kongruent sind, nutzen wir beispielsweise den Kongruenzsatz **WSW**.
3 Dazu zeigen wir, dass die beiden Seiten {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} und {{formula}}\overline{EB}{{/formula}} gleich lang sind und die Winkel {{formula}}\alpha{{/formula}} und {{formula}}\delta{{/formula}} und {{formula}}\gamma{{/formula}} und {{formula}}\beta{{/formula}} jeweils gleich groß.
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8 Im Dreieck {{formula}}EBC{{/formula}} ist {{formula}}\gamma= \angle EBC = 90^\circ{{/formula}} und {{formula}}\angle BCE = 45^\circ{{/formula}}. Über die Innenwinkelsumme im Dreieck folgt:
9 {{formula}}\angle BEC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ{{/formula}}
10 Da die beiden Basiswinkel also beide gleich groß sind, ist {{formula}}\triangle EBC{{/formula}} gleichschenklig, und es gilt folglich {{formula}}\overline{BC} = \overline{EB}{{/formula}}.
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15 [[image:kongruenteDreiecke2.png||width="250" style="float: right"]]
16 Nun bleibt zu zeigen, dass {{formula}}\gamma=\beta{{/formula}} und {{formula}}\alpha=\delta{{/formula}} gilt:
17 * Da {{formula}}\beta{{/formula}} und {{formula}}\gamma{{/formula}} Nebenwinkel auf der Geraden {{formula}}CD{{/formula}} sind, gilt {{formula}}\beta = 180^\circ - \gamma =180^\circ - 90^\circ = 90^\circ{{/formula}}. Somit ist {{formula}}\beta=\gamma{{/formula}}.
18 * Für {{formula}}\delta{{/formula}} ergibt sich über die Innenwinkelsumme im Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}}: {{formula}}180^\circ-90^\circ-\varepsilon=90^\circ-\varepsilon{{/formula}}.
19 Da der an {{formula}}F{{/formula}} anliegende Winkel als Nebenwinkel zum rechten Winkel auch {{formula}}90^\circ{{/formula}} beträgt, erhalten wir für den Winkel {{formula}}\zeta{{/formula}} über die Innenwinkelsumme im Dreieck {{formula}}AEF{{/formula}}: {{formula}}\zeta= 180^\circ-90^\circ-\varepsilon=90^\circ-\varepsilon{{/formula}}.
20 Da {{formula}}\alpha{{/formula}} der Scheitelwinkel zu {{formula}}\zeta{{/formula}} ist, gilt {{formula}}\alpha=\zeta{{/formula}}.
21 Insgesamt erhalten wir {{formula}}\alpha=\zeta=90^\circ-\varepsilon=\delta{{/formula}}, das heißt {{formula}}\alpha=\delta{{/formula}}
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23 Mit dem Kongruenzsatz WSW folgt, dass die beiden Dreiecke ABC und BDE Kongruent zueinander sind.