Lösung Kongruente Dreiecke

 
Um zu zeigen, dass die Dreiecke ABC und BDE kongruent sind, nutzen wir beispielsweise den Kongruenzsatz WSW.
Dazu zeigen wir, dass die beiden Seiten \(\overline{BC}\) und \(\overline{EB}\) gleich lang sind und die Winkel \(\alpha\) und \(\delta\) und \(\gamma\) und \(\beta\) jeweils gleich groß.

Im Dreieck \(EBC\) ist \(\gamma= \angle EBC = 90^\circ\) und \(\angle BCE = 45^\circ\). Über die Innenwinkelsumme im Dreieck folgt:
\(\angle BEC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\)
Da die beiden Basiswinkel also beide gleich groß sind, ist \(\triangle EBC\) gleichschenklig, und es gilt folglich \(\overline{BC} = \overline{EB}\).

 
Nun bleibt zu zeigen, dass \(\gamma=\beta\) und \(\alpha=\delta\) gilt:

• Da \(\beta\) und \(\gamma\) Nebenwinkel auf der Geraden \(CD\) sind, gilt \(\beta = 180^\circ - \gamma =180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Somit ist \(\beta=\gamma\).
• Für \(\delta\) ergibt sich über die Innenwinkelsumme im Dreieck \(ABC\): \(180^\circ-90^\circ-\varepsilon=90^\circ-\varepsilon\).
  Da der an \(F\) anliegende Winkel als Nebenwinkel zum rechten Winkel auch \(90^\circ\) beträgt, erhalten wir für den Winkel \(\zeta\) über die Innenwinkelsumme im Dreieck \(AEF\): \(\zeta= 180^\circ-90^\circ-\varepsilon=90^\circ-\varepsilon\).
  Da \(\alpha\) der Scheitelwinkel zu \(\zeta\) ist, gilt \(\alpha=\zeta\).
  Insgesamt erhalten wir \(\alpha=\zeta=90^\circ-\varepsilon=\delta\), das heißt \(\alpha=\delta\)

Mit dem Kongruenzsatz WSW folgt, dass die beiden Dreiecke ABC und BDE Kongruent zueinander sind.