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Lösung Bestimmtes Integral vs Fläche

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/10/17 14:43

Gegeben sind Informationen über den Graphen einer Funktion f, der die x-Achse bei \(x = 2\) schneidet. Die Teilfläche unterhalb der x-Achse im Intervall \([0; 2]\) beträgt 3 FE, die Teilfläche oberhalb im Intervall \([2; 5]\) beträgt 7 FE.

  1. Bestimme den Wert des Integrals \(\int_{0}^{5} f(x)\,dx\).

    \[\int_{0}^{5} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\,dx + \int_{2}^{5} f(x)\,dx = -3 + 7 = 4\]

  2. Bestimme den geometrischen Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse über \([0; 5]\) einschließt.

    \[A = A_1 + A_2 = 3 + 7 = 10\,\text{FE}\]

  3. Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
    Das bestimmte Integral berücksichtigt das Vorzeichen (orientierter Flächeninhalt): Flächen unterhalb der x-Achse zählen negativ, Flächen oberhalb positiv. Der geometrische Flächeninhalt hingegen betrachtet nur die absolute Größe der Fläche (stets positiv), weshalb die Beträge der Teilflächen addiert werden.