Wiki-Quellcode von Lösung Schnittwinkel
Zuletzt geändert von Dirk Tebbe am 2026/10/05 21:30
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | (%class=abc%) | ||
| 2 | 1. Den Winkel, den zwei Vektoren einschließen, kann man mit der Formel aus der Merkhilfe berechnen: | ||
| 3 | {{formula}}\cos(\alpha) = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} \quad 0^\circ < \alpha < 180^\circ{{/formula}} mit den Richtungsvektoren {{formula}}\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}\vec{u}_2{{/formula}}. | ||
| 4 | {{formula}} | ||
| 5 | \begin{align*} | ||
| 6 | \cos(\alpha) &= \frac{\begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} }{\left| \begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}5 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} \right|} \\ | ||
| 7 | \Leftrightarrow \cos(\alpha) &= \frac{-3 \cdot 5 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0}{\sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{5^2 + 2^2 + 0^2}} \\ | ||
| 8 | \Leftrightarrow \cos(\alpha) &= \frac{-15}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} \\ | ||
| 9 | \Leftrightarrow \cos(\alpha) &= \frac{-15}{\sqrt{290}} \\ | ||
| 10 | \Leftrightarrow \alpha &= \cos^{-1}\left(\frac{-15}{\sqrt{290}}\right) \approx 151,74^\circ | ||
| 11 | \end{align*} | ||
| 12 | {{/formula}} | ||
| 13 | 1. Der Schnittwinkel zweier Geraden lässt sich mit der Formel aus der Merkhilfe berechnen: | ||
| 14 | (Als Schnittwinkel bezeichnet man den kleineren der beiden möglichen Winkel) | ||
| 15 | {{formula}}\cos(\alpha) = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2} \quad 0^\circ\leq \alpha \leq 90^\circ{{/formula}} mit den Richtungsvektoren {{formula}}\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}\vec{u}_2{{/formula}}. | ||
| 16 | {{formula}} | ||
| 17 | \begin{align*} | ||
| 18 | \cos(\alpha) &= \frac{\left|\begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}5 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} \right|} \\ | ||
| 19 | \Leftrightarrow \cos(\alpha) &= \frac{|-3 \cdot 5 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0|}{\sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{5^2 + 2^2 + 0^2}} \\ | ||
| 20 | \Leftrightarrow \cos(\alpha) &= \frac{|-15|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} \\ | ||
| 21 | \Leftrightarrow \cos(\alpha) &= \frac{15}{\sqrt{290}} \\ | ||
| 22 | \Leftrightarrow \alpha &= \cos^{-1}\left(\frac{15}{\sqrt{290}}\right) \approx 28,26^\circ | ||
| 23 | \end{align*} | ||
| 24 | {{/formula}} | ||
| 25 | 1. Es gibt unendlich viele mögliche Geraden. | ||
| 26 | Beispielsweise {{formula}}g_3 :\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 0\end{pmatrix}+t_2\cdot\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}; {{formula}}t_2\in \mathbb{R}{{/formula}} |