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Lösung Schnittwinkel

Zuletzt geändert von Dirk Tebbe am 2026/10/05 21:30
  1. Den Winkel, den zwei Vektoren einschließen, kann man mit der Formel aus der Merkhilfe berechnen:
    \(\cos(\alpha) = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} \quad 0^\circ < \alpha < 180^\circ\) mit den Richtungsvektoren \(\vec{u}_1\) und \(\vec{u}_2\).
    \(\begin{align*} \cos(\alpha) &= \frac{\begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} }{\left| \begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}5 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} \right|} \\ \Leftrightarrow \cos(\alpha) &= \frac{-3 \cdot 5 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0}{\sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{5^2 + 2^2 + 0^2}} \\ \Leftrightarrow \cos(\alpha) &= \frac{-15}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} \\ \Leftrightarrow \cos(\alpha) &= \frac{-15}{\sqrt{290}} \\ \Leftrightarrow \alpha &= \cos^{-1}\left(\frac{-15}{\sqrt{290}}\right) \approx 151,74^\circ \end{align*}\)
  2. Der Schnittwinkel zweier Geraden lässt sich mit der Formel aus der Merkhilfe berechnen:
    (Als Schnittwinkel bezeichnet man den kleineren der beiden möglichen Winkel)
    \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2} \quad 0^\circ\leq \alpha \leq 90^\circ\) mit den Richtungsvektoren \(\vec{u}_1\) und \(\vec{u}_2\).
    \(\begin{align*} \cos(\alpha) &= \frac{\left|\begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}5 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} \right|} \\ \Leftrightarrow \cos(\alpha) &= \frac{|-3 \cdot 5 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0|}{\sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{5^2 + 2^2 + 0^2}} \\ \Leftrightarrow \cos(\alpha) &= \frac{|-15|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} \\ \Leftrightarrow \cos(\alpha) &= \frac{15}{\sqrt{290}} \\ \Leftrightarrow \alpha &= \cos^{-1}\left(\frac{15}{\sqrt{290}}\right) \approx 28,26^\circ \end{align*}\)
  3. Es gibt unendlich viele mögliche Geraden.
    Beispielsweise \(g_3 :\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 0\end{pmatrix}+t_2\cdot\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\); \(t_2\in \mathbb{R}\)