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Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/10/02 10:30
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1 Um zu untersuchen, wie viele Ursprungsgeraden alle drei Koordinatenebenen im gleichen Winkel schneiden, betrachten wir den Richtungsvektor der Geraden:
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3 {{formula}}\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}{{/formula}}
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5 Die Normalenvektoren der drei Koordinatenebenen lauten:
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7 {{formula}}\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{n}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
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9 Damit der Winkel zu allen drei Ebenen gleich groß ist, müssen die Beträge der Skalarprodukte aus Richtungsvektor und den Normalenvektoren übereinstimmen:
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11 {{formula}}|\vec{u} \cdot \vec{n}_1| = |\vec{u} \cdot \vec{n}_2| = |\vec{u} \cdot \vec{n}_3|{{/formula}}
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13 Eingesetzt bedeutet das für die Koordinaten des Richtungsvektors:
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15 {{formula}}|u_1| = |u_2| = |u_3|{{/formula}}
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17 Da jede Koordinate unabhängig das Vorzeichen wechseln kann (+1 oder -1), gibt es insgesamt {{formula}}2^3 = 8{{/formula}} mögliche Richtungsvektoren (wie zum Beispiel):
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19 {{formula}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \text{usw.}{{/formula}}
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21 Da ein Vektor und sein Gegenvektor (z. B. {{formula}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}{{/formula}}) genau dieselbe Ursprungsgerade aufspannen, halbiert sich die Anzahl.
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23 **Ergebnis:** Es gibt genau 4 verschiedene Ursprungsgeraden. Geometrisch sind dies die 4 Raumdiagonalen eines Würfels, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt und dessen Seiten parallel zu den Koordinatenebenen sind.