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Lösung Gleiche Schnittwinkel

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/10/02 10:30

Um zu untersuchen, wie viele Ursprungsgeraden alle drei Koordinatenebenen im gleichen Winkel schneiden, betrachten wir den Richtungsvektor der Geraden:

\[\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\]

Die Normalenvektoren der drei Koordinatenebenen lauten:

\[\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{n}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Damit der Winkel zu allen drei Ebenen gleich groß ist, müssen die Beträge der Skalarprodukte aus Richtungsvektor und den Normalenvektoren übereinstimmen:

\[|\vec{u} \cdot \vec{n}_1| = |\vec{u} \cdot \vec{n}_2| = |\vec{u} \cdot \vec{n}_3|\]

Eingesetzt bedeutet das für die Koordinaten des Richtungsvektors:

\[|u_1| = |u_2| = |u_3|\]

Da jede Koordinate unabhängig das Vorzeichen wechseln kann (+1 oder -1), gibt es insgesamt \(2^3 = 8\) mögliche Richtungsvektoren (wie zum Beispiel):

\[\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \text{usw.}\]

Da ein Vektor und sein Gegenvektor (z. B. \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\)) genau dieselbe Ursprungsgerade aufspannen, halbiert sich die Anzahl.

Ergebnis: Es gibt genau 4 verschiedene Ursprungsgeraden. Geometrisch sind dies die 4 Raumdiagonalen eines Würfels, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt und dessen Seiten parallel zu den Koordinatenebenen sind.