BPE 13.1 Bestandsrekonstruktion und Orientierter Flächeninhalt
K1 Ich kann das bestimmte Integral als rekonstruierten Bestand deuten
K1 Ich kann das bestimmte Integral als Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse deuten
K5 Ich kann den Wert bestimmter Integrale mittels Flächenzerlegung näherungsweise ermitteln
K5 K6 Ich kann den propädeutischen Grenzwertbegriff beim Übergang von Unter- und Obersummen zum bestimmten Integral nutzen e
K6 Ich kann den Wert eines bestimmten Integrals als Bilanz orientierter Flächeninhalte interpretieren
K6 Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals erläutern e
K5 K6 Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals nutzen g
Deutung des bestimmten Integrals (Bestandsrekonstruktion, z. B. zurückgelegte Strecke bei veränderlicher Geschwindigkeit, Fläche)gekrümmte RandfunktionNäherungsweise Berechnung von Integralen (z. B. Kästchenzählen, Ober- und Untersumme)
Orientierter Flächeninhalt (z. B. Zu- und Abflussmenge)
Eigenschaften des bestimmten Integrals (Intervalladditivität, Linearität des Integrals, Integralwert ist Null bei ungeraden Funktionen und zu x=0 symmetrischen Integrationsgrenzen)
Bestandsrekonstruktion
1 Gefäß (5 min) 𝕋 𝕃
Ein Gefäß sei zu Beginn der Beobachtung mit 10 l gefüllt. Es wird folgender Zufluss/ Abluss beobachtet:
Bestimme den Füllstand nach diesen Veränderungen.
| AFB I - K4 | Quelle KMap |
2 Fahrstrecke (5 min) 𝕋 𝕃
Das Schaubild zeigt den Geschwindigkeitsverlauf während einer Autofahrt.
Bestimme die zurückgelegte Strecke.
| AFB I - K4 | Quelle KMap |
3 Photovoltaikanlage (5 min) 𝕋 𝕃
Ein Speicher wird über eine Photovoltaikanlage geladen. Das Schaubild zeigt die Ladeleistung über die Zeit.
Bestimme näherungsweise die gespeicherte Energiemenge des Speichers um 18:00 Uhr unter der Annahme, dass sie morgens um 6:00 Uhr 2 kWh betrug.
| AFB I - K4 | Quelle KMap |
4 Test-Rakete (9 min) 𝕀 𝕃
Bei der Erprobung eines neuen Raketenantriebs werden verschiedene Flugprofile getestet. Bereits eingezeichnet in das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ist ein unrealistisches Flugprofil, bei dem die Rakete schlagartig auf ihre Reisegeschwindigkeit kommt und diese die gesamten 20 Sekunden konstant hält.
Der Flächeninhalt unter dem Graphen der Geschwindigkeit entspricht dem zurückgelegten Weg s (in m).
Zeichne für die beiden folgenden Flugprofile jeweils einen möglichen Graphen in das Koordinatensystem ein. Allen drei Flugprofilen ist die Dauer von 20 Sekunden und die Strecke von 600 Metern gemein.
- Konstante Beschleunigung: Die Rakete startet aus dem Stand (v(0) = 0) und beschleunigt für 20 Sekunden mit einer konstanten Rate. Die Geschwindigkeit nimmt also linear zu.
- Start-, Flug- und Bremsphase: In einem weiteren Testflug startet die Rakete aus dem Stand (v(0) = 0), beschleunigt 8 Sekunden lang mit einer konstanten Rate, fliegt dann 4 Sekunden lang mit konstanter Geschwindigkeit und bremst schließlich mit einer konstanten negativen Rate wieder 8 Sekunden lang bis zum Stillstand (v(20)=0) ab.
| AFB II - K3 K4 | Quelle Holger Engels |
5 Streifenmethode (k. A.) 𝕃
svgDas Schaubild zeigt die Normalparabel \(f(x)= x^2\). Für n Streifen und einer Streifenbreite von \(\frac{b}{n}\) ergibt sich die Untersumme folgendermaßen:
\(U_n = \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(2\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f(n\cdot\Delta x)\)
\(U_n = \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (2\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot (n\cdot \Delta x)^2\)
... führt schließlich zu ...
\(U_n = b^3\frac16(2+\frac3n+\frac1{n^2})\)
Berechne den Wert der Summe für unterschiedliche n.
| n | 4 | 8 | 100 |
|---|---|---|---|
| \(U_n\) | Betrachte den Term und begründe, gegen welchen Wert er für \(n\rightarrow}infty\) strebt. |
| AFB II - k. A. | Quelle Holger Engels, Stefanie Walz |
Bestimmtes Integral
Eigenschaften
6 Integraleigenschaften (10 min) 𝕋 𝕃
Ermittle eine aufgsteigende Reihenfolge für den Wert der folgenden Integrale
- \(\int_{-5}^{5} e^{x+4} \, dx\)
- \(\int_{-5}^{5} e^{x-4} \, dx\)
- \(\int_{-5}^{5} (-x^5 + 4x^3-2x)\, dx\)
- \(\int_{-5}^{5} (\cos(\frac{1}{2}x)-3)\, dx \)
| AFB II - K1 | Quelle Debora Kemm, Benjamin Kaiser |
7 Bilanz null (8 min) 𝕃
Es gilt für das bestimmte Integral im Intervall \([1; 5]\):
Gib jeweils eine Funktionsgleichung für \(f\) an, die diese Bedingung erfüllt. Begründe jeweils Deine Wahl.
- \(f\) ist eine trigonometrische Funktion.
- \(f\) ist eine Polynomfunktion.
| AFB II - K2 K5 | Quelle Holger Engels |
8 Rechenregeln (9 min)
Gegeben sind zwei im Intervall \([-5; 5]\) stetige Funktionen \(f\) und \(g\). Es sind keine Funktionsterme bekannt, lediglich die Symmetrieeigenschaften:
- Der Graph der Funktion \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung
- Der Graph der Funktion \(g\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse
und folgende bestimmte Integralwerte:
Ermittle den exakten Wert des folgenden bestimmten Integrals:
| AFB III - K4 K5 | Quelle Holger Engels |