Lösung Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen

Der Abstand von Punkt \(Q\) zur Geraden \(g\) \(d(Q;g)\) soll \(2\ \text{LE}\) betragen, also ein Drittel des Abstandes \(d(P;g)=6\ \text{LE}\).
Da der Abstand eines Punktes zu einer Geraden senkrecht zur Geraden gemessen wird, bestimmen wir zunächst den Lotfußpunkt \(F\) von \(P\) auf \(g\).
Anschließend können wir einen Punkt \(Q\) bestimmen, indem wir von \(F\) aus ein Drittel der Strecke \(\overline{FP}\) in Richtung \(P\) gehen: \(\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OF} + \frac{1}{3}\overrightarrow{FP}\).

Lösungsweg 1 (mit Lotgerade):
Wir wählen den allgemeinen Punkt \(G_t(4+t|-3-2t|1+2t)\) auf \(g\) und bestimmen den allgemeinen Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PG_t}\):
\(\overrightarrow{PG_t}=\begin{pmatrix}4+t\\-3-2t\\1+2t\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6+t\\-6-2t\\ 2t\end{pmatrix}\)

Der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PG_t}\) muss senkrecht zu dem Richtungsvektor von \(g\) sein. Das heißt, das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null sein:
\(\begin{align*} \begin{pmatrix}6+t\\-6-2t\\ 2t\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\ 2\end{pmatrix}&=0 \\ \Leftrightarrow 1\cdot (6+t)+(-2)\cdot (-6-2t)+2\cdot 2t&=0 \\ \Leftrightarrow 6+t+12+4t+4t&=0 \\ \Leftrightarrow 18+9t&=0\\ \Leftrightarrow 18&=-9t\\ \Leftrightarrow t&=-\frac{18}{9}=-2 \end{align*}\)

Wir erhalten nun den Lotfußpunkt \(F\), indem wir \(t=-2\) in \(g\) einsetzen:
\(\begin{pmatrix}4\\-3\\1\end{pmatrix}+(-2)\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} \rightarrow F(2|1|-3)\)

Wir bestimmen nun den Vektor \(\overrightarrow{FP}=\begin{pmatrix}-2-2\\3-1\\1-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}\).

Nun können wir den Punkt \(Q\) bestimmen durch \(\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OF} + \frac{1}{3}\overrightarrow{FP}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-\frac{4}{3}\\1+\frac{2}{3}\\-3+\frac{4}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\ \frac{5}{3}\\ -\frac{5}{3}\end{pmatrix}\).

Der Punkt lautet somit \(Q\left(\frac{2}{3} \mid \frac{5}{3} \mid -\frac{5}{3}\right)\).

Lösungsweg 2 (mit Lotebene):
Wir stellen zunächst die Ebene \(E\) auf, die senkrecht zu \(g\) ist (Hilfsebene). Dazu verwenden wir den Richtungsvektor von \(g\) als Normalenvektor der Ebene:
\(E: \ x_1-2x_2+2x_3=d\)
Wir erhalten \(d\) durch Einsetzen von \(P(-2|3|1)\) in \(E\):
\(-2-2\cdot 3+2\cdot 1=d \ \Leftrightarrow \ -6=d \implies E: \ x_1-2x_2+2x_3=-6\)

Nun berechnen wir den Schnittpunkt \(F\) der Ebene \(E\) mit der Geraden \(g\) (Lotfußpunkt), indem wir zunächst den allgemeinen Geradenpunkt \(G_t(4+t|-3-2t|1+2t)\) in die Ebene einsetzen:
\(\begin{align*} (4 + t) - 2\cdot(-3 - 2t) + 2\cdot(1 + 2t) &= -6 \\ \Leftrightarrow 4 + t + 6 + 4t + 2 + 4t &= -6 \\ \Leftrightarrow 9t + 12 &= -6 \\ \Leftrightarrow 9t &= -18 \\ \Leftrightarrow t &= -2 \end{align*}\)

Anschließend setzen wir \(t=-2\) in \(g\) ein: \(\begin{pmatrix}4\\-3\\1\end{pmatrix}+(-2)\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} \rightarrow F(2|1|-3)\)

Wir bestimmen nun den Vektor \(\overrightarrow{FP}=\begin{pmatrix}-2-2\\3-1\\1-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}\).

Nun können wir den Punkt \(Q\) bestimmen durch \(\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OF} + \frac{1}{3}\overrightarrow{FP}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-\frac{4}{3}\\1+\frac{2}{3}\\-3+\frac{4}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\ \frac{5}{3}\\ -\frac{5}{3}\end{pmatrix}\).

Der Punkt lautet somit \(Q\left(\frac{2}{3} \mid \frac{5}{3} \mid -\frac{5}{3}\right)\).