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Wiki-Quellcode von Lösung Abstand Punkt Gerade

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/10/15 15:20
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Anna Kukin 1.1 1 (% class="abc" %)
2 1. (((//Lösungsweg 1 (mit Lotgerade)//:
3 Wir wählen den allgemeinen Punkt {{formula}}Q_t(1|3+t|t){{/formula}} auf {{formula}}g{{/formula}} und bestimmen den allgemeinen Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ_t}{{/formula}}:
4 {{formula}}\overrightarrow{PQ_t}=\begin{pmatrix}1\\3+t\\t\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\t\\ t-5\end{pmatrix}{{/formula}}
5
6 Der Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ_t}{{/formula}} muss senkrecht zu dem Richtungsvektor von {{formula}}g{{/formula}} sein. Das heißt, das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null sein:
7 {{formula}}
8 \begin{align*}
9 \begin{pmatrix}0\\t\\ t-5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\ 1\end{pmatrix}&=0 \\
10 \Leftrightarrow t+t-5&=0 \\
11 \Leftrightarrow 2t-5&=0 \\
12 \Leftrightarrow 2t&=5\\
13 \Leftrightarrow t&=\frac{5}{2}=2{,}5
14 \end{align*}
15 {{/formula}}
16
17 Wir erhalten nun den Lotfußpunkt {{formula}}F{{/formula}} indem wir {{formula}}t=2{,}5{{/formula}} in {{formula}}g{{/formula}} einsetzen:
18 {{formula}}\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+2{,}5\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5{,}5\\2{,}5\end{pmatrix} \Rightarrow F(1|5{,}5|2{,}5){{/formula}}
19
20 Um nun den Abstand des Punktes zur Geraden zu berechnen, berechnen wir die Länge der Strecke {{formula}}\overline{PF}{{/formula}}:
Anna Kukin 4.1 21 {{formula}}d(P;g)=|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{(1-1)^2+(5{,}5-3)^2+(2{,}5-5)^2}=\sqrt{2{,}5^2+(-2{,}5)^2}\approx 3{,}54 \ \text{LE}{{/formula}}
Anna Kukin 1.1 22
Anna Kukin 2.1 23 //Lösungsweg 2 (mit Lotebene)//:
Anna Kukin 4.3 24 Wir stellen zunächst die Ebene {{formula}}E{{/formula}} auf, die senkrecht zu {{formula}}g{{/formula}} ist (Hilfsebene). Dazu verwenden wir den Richtungsvektor von {{formula}}g{{/formula}} als Normalenvektor der Ebene:
Anna Kukin 2.1 25 {{formula}}E: \ x_2+x_3=d{{/formula}}
26 Wir erhalten {{formula}}d{{/formula}} durch Einsetzen von {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} in {{formula}}E{{/formula}}:
Anna Kukin 4.3 27 {{formula}}3+5=d \ \Leftrightarrow \ 8=d \implies E: \ x_2+x_3=8{{/formula}}
Anna Kukin 2.1 28
29 Nun berechnen wir den Schnittpunkt {{formula}}F{{/formula}} der Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit der Geraden {{formula}}g{{/formula}} (Lotfußpunkt), indem wir den allgemeinen Geradenpunkt {{formula}}Q_t(1|3+t|t){{/formula}} in die Ebene einsetzen
Anna Kukin 4.3 30 {{formula}}(3+t)+t=8 \ \Leftrightarrow \ 2t=5 \ \Leftrightarrow \ t=\frac{5}{2}=2{,}5{{/formula}}
Anna Kukin 2.1 31 und anschließend {{formula}}t=2{,}5{{/formula}} in die Geradengleichung einsetzen: {{formula}}\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+2{,}5\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5{,}5\\2{,}5\end{pmatrix} \Rightarrow F(1|5{,}5|2{,}5){{/formula}}
32 Um nun den Abstand des Punktes zur Geraden zu berechnen, berechnen wir die Länge der Strecke {{formula}}\overline{PF}{{/formula}}:
Anna Kukin 4.1 33 {{formula}}d(P;g)=|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{(1-1)^2+(5{,}5-3)^2+(2{,}5-5)^2}=\sqrt{2{,}5^2+(-2{,}5)^2}\approx 3{,}54 \ \text{LE}{{/formula}}
Anna Kukin 2.1 34 )))
Anna Kukin 4.1 35 1. Die Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}} liegen alle auf der Mantelfläche eines Kreiszylinders um die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit dem Radius {{formula}}r=d(P;g)\approx 3{,}54\ \text{LE}{{/formula}} (in einer 2D-Skizze auf dem Parallelenpaar mit dem Abstand {{formula}}d\approx 3{,}54\ \text{LE}{{/formula}} zu {{formula}}g{{/formula}}).
Anna Kukin 4.2 36 [[image:PunktGeradegleicherAbstand.png||width="350"]]
Anna Kukin 4.1 37 1. Alle Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}} liegen alle auf der Mantelfläche eines Kreiszylinders um die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit dem Radius {{formula}}r=d(P;g)\approx 3{,}54\ \text{LE}{{/formula}}.
38 Die Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist, liegen auf der Mantelfläche eines Zylinders mit dem Radius {{formula}}r=2\cdot d(P;g)\approx 7{,}07 \text{LE}{{/formula}}.