Lösung Abstand Punkt Gerade

Lösungsweg 1 (mit Lotgerade):
Wir wählen den allgemeinen Punkt \(Q_t(1|3+t|t)\) auf \(g\) und bestimmen den allgemeinen Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ_t}\):
\(\overrightarrow{PQ_t}=\begin{pmatrix}1\\3+t\\t\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\t\\ t-5\end{pmatrix}\)

Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{PQ_t}\) muss senkrecht zu dem Richtungsvektor von \(g\) sein. Das heißt, das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null sein:
\(\begin{align*} \begin{pmatrix}0\\t\\ t-5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\ 1\end{pmatrix}&=0 \\ \Leftrightarrow t+t-5&=0 \\ \Leftrightarrow 2t-5&=0 \\ \Leftrightarrow 2t&=5\\ \Leftrightarrow t&=\frac{5}{2}=2{,}5 \end{align*}\)

Wir erhalten nun den Lotfußpunkt \(F\) indem wir \(t=2{,}5\) in \(g\) einsetzen:
\(\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+2{,}5\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5{,}5\\2{,}5\end{pmatrix} \Rightarrow F(1|5{,}5|2{,}5)\)

Um nun den Abstand des Punktes zur Geraden zu berechnen, berechnen wir die Länge der Strecke \(\overline{PF}\):
\(d(P;g)=|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{(1-1)^2+(5{,}5-3)^2+(2{,}5-5)^2}=\sqrt{2{,}5^2+(-2{,}5)^2}\approx 3{,}54 \ \text{LE}\)

Lösungsweg 2 (mit Lotebene):
Wir stellen zunächst die Ebene \(E\) auf, die senkrecht zu \(g\) ist (Hilfsebene). Dazu verwenden wir den Richtungsvektor von \(g\) als Normalenvektor der Ebene:
\(E: \ x_2+x_3=d\)
Wir erhalten \(d\) durch Einsetzen von \(P(1|3|5)\) in \(E\):
\(3+5=d \ \Leftrightarrow \ 8=d \implies E: \ x_2+x_3=8\)

Nun berechnen wir den Schnittpunkt \(F\) der Ebene \(E\) mit der Geraden \(g\) (Lotfußpunkt), indem wir den allgemeinen Geradenpunkt \(Q_t(1|3+t|t)\) in die Ebene einsetzen
\((3+t)+t=8 \ \Leftrightarrow \ 2t=5 \ \Leftrightarrow \ t=\frac{5}{2}=2{,}5\)
und anschließend \(t=2{,}5\) in die Geradengleichung einsetzen: \(\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+2{,}5\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5{,}5\\2{,}5\end{pmatrix} \Rightarrow F(1|5{,}5|2{,}5)\)
Um nun den Abstand des Punktes zur Geraden zu berechnen, berechnen wir die Länge der Strecke \(\overline{PF}\):
\(d(P;g)=|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{(1-1)^2+(5{,}5-3)^2+(2{,}5-5)^2}=\sqrt{2{,}5^2+(-2{,}5)^2}\approx 3{,}54 \ \text{LE}\)