Lösung Saugroboter

Die Richtungsvektoren untersuchen
- Der erste Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix} \) bewegt den Roboter ausschließlich in \(x_1\)-Richtung.
- Der zweite Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} \) bewegt ihn gleichzeitig in \(x_1\)- und \(x_2\)-Richtung.

Der Roboter kann jeden Punkt der \(x_1x_2\)-Ebene erreichen, weil die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sind. Da die dritte Koordinate immer null bleibt, kann er allerdings keinen Punkt außerhalb dieser Ebene erreichen.

Zwei Richtungsvektoren können höchstens eine Ebene im dreidimensionalen Raum aufspannen. Sie reichen deshalb nicht aus, um den gesamten dreidimensionalen Raum abzudecken. Selbst wenn der Roboter seine Bewegungen beliebig oft kombiniert, bleibt er auf diese Ebene beschränkt.
Damit der Roboter jeden Punkt im dreidimensionalen Raum erreichen kann, benötigt er einen dritten, linear unabhängigen Richtungsvektor, der eine Bewegung in \(x_3\)-Richtung ermöglicht.

Eine passende Parameterform wäre beispielsweise:
\(\vec{x}= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} +r\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)

mit \(r,s,t\in\mathbb{R}\).