Lösung Arithmagon Formen

Eine eindeutige Lösung der Ebenengleichung E ergibt sich für die Koordinatenform der Ebene \(E: 1x_1+2x_2+3x_3=12\) indem die Angaben aus dem oberen Kreis und die Angaben aus dem linken Kreis herangezogen werden:

1. \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}0\\ -3\\ 2\end{pmatrix}\)
2. \(\vec{AB}\cdot\vec{n}=0\) \( \rightarrow \) \(\begin{pmatrix}0\\ -3\\ 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}n_1\\ n_2\\ n_3\end{pmatrix}=0\)  \( \rightarrow \) \(0n_1-3n_2+2n_3=0\) \( \rightarrow \)\(n_3=1.5 \cdot n_2\)
3. \(\vec{p}\cdot\vec{n}=12\)  \( \rightarrow \) \(\begin{pmatrix}1\\ n_2\\ 1,5 \cdot n_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\ 5\\ 0\end{pmatrix}=0\)\( \rightarrow \)\(n_2 = 2\) und \(n_3 = 3\)
4. \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\) und damit \(E: 1x_1+2x_2+3x_3=12\). Die anderen Formen der Ebenengleichung erhalten wir durch Umformen der Koordinatenform.
5. Wähle beispielsweise \(C(0|6|0)\) als Punkt der Ebene E.
6. Du erhältst dann als Parameterform der Ebene: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) 
7. Du erhältst dann als  Normalenform der Ebene \(E: \begin{pmatrix}\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 0\)