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Zuletzt geändert von Dirk Tebbe am 2026/10/13 09:12
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1 Die Geraden besitzen denselben Stützvektor und schneiden sich daher in Punkt {{formula}}S(-4|0|4){{/formula}}.
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3 Die Richtungsvektoren lauten {{formula}} \vec{u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\k\end{pmatrix},\qquad\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}{{/formula}}
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5 Für den Winkel zwischen zwei Geraden gilt {{formula}} \cos(\alpha)=\frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|} {{/formula}}
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7 Der soll Schnittwinkel 60° betragen. Somit gilt {{formula}} \cos(60^\circ)=\frac12 {{/formula}}
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9 == 1. Skalarprodukt berechnen ==
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11 {{formula}}
12 \vec{u}\cdot\vec{v} = 2\cdot1+(-1)\cdot2+k\cdot(-2) = -2k
13 {{/formula}}
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15 == 2. Beträge der Richtungsvektoren berechnen ==
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17 {{formula}}
18 |\vec{u}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+k^2} = \sqrt{5+k^2}
19 {{/formula}}
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21 {{formula}}
22 |\vec{v}| = \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} = 3
23 {{/formula}}
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25 == 3. Winkelbedingung aufstellen ==
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27 {{formula}}
28 \frac{|-2k|}{3\sqrt{5+k^2}} = \frac12
29 {{/formula}}
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31 Daraus folgt {{formula}} 4|k| = 3\sqrt{5+k^2} {{/formula}}
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33 Nun quadrieren wir beide Seiten:
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35 {{formula}}
36 16k^2 = 9(5+k^2)
37 {{/formula}}
38
39 {{formula}}
40 16k^2 = 45+9k^2
41 {{/formula}}
42
43 {{formula}}
44 7k^2 = 45
45 {{/formula}}
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47 {{formula}}
48 k^2 = \frac{45}{7}
49 {{/formula}}
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51 Somit erhält man
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53 {{formula}}
54 k = \pm\sqrt{\frac{45}{7}} = \pm\frac{3\sqrt{35}}{7}
55 {{/formula}}
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57 == Ergebnis ==
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61 Für den Parameter gilt:
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63 {{formula}}
64 \boxed{k=\pm\sqrt{\frac{45}{7}}}
65 {{/formula}}
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67 bzw. äquivalent
68
69 {{formula}}
70 \boxed{k=\pm\frac{3\sqrt{35}}{7}}
71 {{/formula}}