Lösung Winkel Koordinatenebene

Weg 1: mit einer orthogonalen Projektion

1. Wir projizieren den Richtungsvektor \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)\) der Gerade auf die \(x_{12}\)-Ebene und erhalten den Vektor \(\vec{v}_{12}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)\).
2. Die beiden Vektoren  \(\vec{v}\) und \(\vec{v}_{12}\) schließen einen Winkel \(\alpha\) ein.
3. Berechne den Winkel \(\alpha\) mit \( cos(\alpha) = \frac{\vec v \cdot \vec{v}_{12}}{\mid\vec v \mid \cdot \mid \vec {v}_{12} \mid}= \frac{25}{\ 5 \cdot {\sqrt{41}} } = \frac{5}{\sqrt{41}} = 0,7809\)
   \( \Rightarrow \alpha \approx 38,66^{\circ}\)

Weg 2: Mit dem Normalenvektor (Formelsammlung)

1. Der Richtungsvektor der Geraden ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).
2. Ein Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene ist der Richtungsvektor der \(x_3\)-Achse: \(\vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).
3. Berechne den Winkel \(\alpha\) mit der Formel aus der Formelsammlung:
   \(\sin(\alpha)=\frac{\mid\vec{u}\cdot\vec{n}\mid}{\mid\vec{u}\mid\cdot\mid\vec{n}\mid}=\frac{\mid 4\cdot 0+3\cdot 0+4\cdot 1\mid}{\sqrt{4^2+3^2+4^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{41}\cdot 1}=\frac{4}{\sqrt{41}}\approx 0{,}6247\)
   \(\Rightarrow \alpha\approx 38{,}66^{\circ}\)