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Zuletzt geändert von boos am 2026/10/08 12:08
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1 Vorbereitung: Richtungsvektor von g
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3 {{formula}}\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}=\begin{pmatrix} 5-1 \\ 4-2 \\ 7-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}{{/formula}}
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5 Eine Gleichung {{formula}}\vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{v}{{/formula}} beschreibt die Gerade g genau dann, wenn beide Bedingungen erfüllt sind:
6 1. Der Stützvektor {{formula}}\vec{p}{{/formula}} gehört zu einem Punkt auf g (z. B. {{formula}}A{{/formula}} oder {{formula}}B{{/formula}}).
7 2. Der Richtungsvektor {{formula}}\vec{v}{{/formula}} ist ein Vielfaches (ungleich {{formula}}\vec{0}{{/formula}}) von {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}}.
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10 Weg 1: Über den Aufbau der Parametergleichung
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12 a) {{formula}}g_1{{/formula}}
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14 1. Der Stützvektor {{formula}}\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}{{/formula}} ist der Ortsvektor von {{formula}}B{{/formula}}, also gehört er zu einem Punkt auf g. ✔
15 2. Der Richtungsvektor ist ein Vielfaches von {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}}:
16 {{formula}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}{{/formula}} ✔
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18 Beide Bedingungen sind erfüllt. Also gehört {{formula}}g_1{{/formula}} zur Geraden g.
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20 b) {{formula}}g_2{{/formula}}
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22 1. Der Stützvektor {{formula}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}{{/formula}} ist der Ortsvektor von {{formula}}A{{/formula}}. ✔
23 2. Der Richtungsvektor {{formula}}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}{{/formula}} ist genau {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}}. ✔
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25 Beide Bedingungen sind erfüllt. Also gehört {{formula}}g_2{{/formula}} zur Geraden g.
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27 c) {{formula}}g_3{{/formula}}
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29 1. Der Stützvektor {{formula}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}{{/formula}} ist der Ortsvektor von {{formula}}A{{/formula}}. ✔
30 2. Wir prüfen, ob {{formula}}\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}{{/formula}} ein Vielfaches von {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} ist. Dann müsste es ein {{formula}}k{{/formula}} geben mit
31 {{formula}}\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}=k\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}{{/formula}}
32 I: {{formula}}5=4k \Rightarrow k=\frac{5}{4}{{/formula}}
33 II: {{formula}}4=2k \Rightarrow k=2{{/formula}}
34 Das ist ein Widerspruch. Die Vektoren sind nicht parallel. ✘
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36 Die Gerade {{formula}}g_3{{/formula}} hat eine andere Richtung als g. Der Ortsvektor von {{formula}}B{{/formula}} wurde als Richtungsvektor verwendet, statt den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}{{/formula}} zu bilden. Also gehört {{formula}}g_3{{/formula}} nicht zu g.
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39 Weg 2: Mit der Punktprobe
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41 Eine Gleichung gehört zu g, wenn {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} beide auf ihr liegen.
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43 a) {{formula}}g_1{{/formula}}
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45 Punkt {{formula}}B{{/formula}}: {{formula}}\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}{{/formula}}
46 Mit {{formula}}t=0{{/formula}} sind alle drei Zeilen erfüllt. {{formula}}B{{/formula}} liegt auf {{formula}}g_1{{/formula}} (es ist der Stützpunkt).
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48 Punkt {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}{{/formula}}
49 I: {{formula}}5+2t=1 \Rightarrow t=-2{{/formula}}
50 II: {{formula}}4+t=2 \Rightarrow t=-2{{/formula}}
51 III: {{formula}}7+2t=3 \Rightarrow t=-2{{/formula}}
52 Alle Zeilen liefern {{formula}}t=-2{{/formula}}. {{formula}}A{{/formula}} liegt auf {{formula}}g_1{{/formula}}.
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54 Da zwei Punkte eine Gerade eindeutig festlegen, gehört {{formula}}g_1{{/formula}} zur Geraden g. ✔
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56 b) {{formula}}g_2{{/formula}}
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58 Punkt {{formula}}A{{/formula}}: Mit {{formula}}t=0{{/formula}} ergibt sich {{formula}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}{{/formula}}. {{formula}}A{{/formula}} liegt auf {{formula}}g_2{{/formula}} (es ist der Stützpunkt).
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60 Punkt {{formula}}B{{/formula}}: {{formula}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}{{/formula}}
61 I: {{formula}}1+4t=5 \Rightarrow t=1{{/formula}}
62 II: {{formula}}2+2t=4 \Rightarrow t=1{{/formula}}
63 III: {{formula}}3+4t=7 \Rightarrow t=1{{/formula}}
64 Alle Zeilen liefern {{formula}}t=1{{/formula}}. {{formula}}B{{/formula}} liegt auf {{formula}}g_2{{/formula}}.
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66 Also gehört {{formula}}g_2{{/formula}} zur Geraden g. ✔
67
68 c) {{formula}}g_3{{/formula}}
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70 Punkt {{formula}}A{{/formula}}: Mit {{formula}}t=0{{/formula}} ergibt sich {{formula}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}{{/formula}}. {{formula}}A{{/formula}} liegt auf {{formula}}g_3{{/formula}} (es ist der Stützpunkt).
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72 Punkt {{formula}}B{{/formula}}: {{formula}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}{{/formula}}
73 I: {{formula}}1+5t=5 \Rightarrow t=\frac{4}{5}{{/formula}}
74 II: {{formula}}2+4t=4 \Rightarrow t=\frac{1}{2}{{/formula}}
75 Die Zeilen liefern verschiedene Werte für {{formula}}t{{/formula}}. Das ist ein Widerspruch. {{formula}}B{{/formula}} liegt nicht auf {{formula}}g_3{{/formula}}.
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77 Also gehört {{formula}}g_3{{/formula}} nicht zur Geraden g. ✘
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80 Also folgt:
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82 Die Gleichungen {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}} gehören zur Geraden g, die Gleichung {{formula}}g_3{{/formula}} nicht.
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84 {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}} beschreiben dieselbe Gerade, obwohl sie unterschiedlich aussehen: Sie haben verschiedene Stützpunkte ({{formula}}B{{/formula}} bzw. {{formula}}A{{/formula}}) und Richtungsvektoren unterschiedlicher Länge, die aber parallel zueinander sind.
85 Bei {{formula}}g_3{{/formula}} liegt {{formula}}B{{/formula}} nicht auf der Geraden, und der Richtungsvektor ist nicht parallel zu {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}}.