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BPE 13.1 Bestandsrekonstruktion und Orientierter Flächeninhalt

Version 59.1 von Holger Engels am 2026/10/12 09:45
Inhalt

K1 Ich kann das bestimmte Integral als rekonstruierten Bestand deuten
K1 Ich kann das bestimmte Integral als Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse deuten
K5 Ich kann den Wert bestimmter Integrale mittels Flächenzerlegung näherungsweise ermitteln
K5 K6 Ich kann den propädeutischen Grenzwertbegriff beim Übergang von Unter- und Obersummen zum bestimmten Integral nutzen  e 
K6 Ich kann den Wert eines bestimmten Integrals als Bilanz orientierter Flächeninhalte interpretieren
K6 Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals erläutern  e 
K5 K6 Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals nutzen  g 

Siehe dazu Rekonstruktion einer Größe und Obersumme/Untersumme interaktiv

Bestandsrekonstruktion

Ein Gefäß sei zu Beginn der Beobachtung mit 10 l gefüllt. Es wird folgender Zufluss/ Abluss beobachtet:

Gefäß.svg

Bestimme den Füllstand nach diesen Veränderungen.

AFB I - K4Quelle KMap

Fahrstrecke.svgDas Schaubild zeigt den Geschwindigkeitsverlauf während einer Autofahrt.
Bestimme die zurückgelegte Strecke.

AFB I - K4Quelle KMap

Photovoltaik.svgEin Speicher wird über eine Photovoltaikanlage geladen. Das Schaubild zeigt die Ladeleistung über die Zeit.
Bestimme näherungsweise die gespeicherte Energiemenge des Speichers um 18:00 Uhr unter der Annahme, dass sie morgens um 6:00 Uhr 2 kWh betrug.

AFB I - K4Quelle KMap

Bei der Erprobung eines neuen Raketenantriebs werden verschiedene Flugprofile getestet. Bereits eingezeichnet in das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ist ein unrealistisches Flugprofil, bei dem die Rakete schlagartig auf ihre Reisegeschwindigkeit kommt und diese die gesamten 20 Sekunden konstant hält.

Rakete.svg
Der Flächeninhalt unter dem Graphen der Geschwindigkeit entspricht dem zurückgelegten Weg s (in m).

Zeichne für die beiden folgenden Flugprofile jeweils einen möglichen Graphen in das Koordinatensystem ein. Allen drei Flugprofilen ist die Dauer von 20 Sekunden und die Strecke von 600 Metern gemein.

  1. Konstante Beschleunigung: Die Rakete startet aus dem Stand (v(0) = 0) und beschleunigt für 20 Sekunden mit einer konstanten Rate. Die Geschwindigkeit nimmt also linear zu.
  2. Start-, Flug- und Bremsphase: In einem weiteren Testflug startet die Rakete aus dem Stand (v(0) = 0), beschleunigt 8 Sekunden lang mit einer konstanten Rate, fliegt dann 4 Sekunden lang mit konstanter Geschwindigkeit und bremst schließlich mit einer konstanten negativen Rate wieder 8 Sekunden lang bis zum Stillstand (v(20)=0) ab.
AFB II - K3 K4Quelle Holger Engels

Streifenmethode.svgDas Schaubild zeigt die Normalparabel \(f(x)= x^2\) und die Streifen der Untersumme für n =4 Streifen und einer Streifenbreite von \(\frac{b}{n}=\frac{1}{4}\). Allgemein bestimmt sich sich die Untersumme für die Streifen folgendermaßen:

\[\begin{aligned} U_n &= \Delta x \cdot f(0\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f((n-1)\cdot\Delta x) \\ \text{} &= \Delta x \cdot (0\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot ((n-1)\cdot \Delta x)^2 \end{aligned}\]

.. führt nach einigen Umformungen schließlich zu:

\[U_n = b^3\frac16(2-\frac3n+\frac1{n^2})\]

Analog ergibt sich für die Obersumme:

\[O_n = b^3\frac16(2+\frac3n+\frac1{n^2})\]

  1. Berechne den Wert dieser Summen für unterschiedliche n.

    n   4      8    100 
    \(U_n\)
    \(O_n\)
  2. Betrachte die Terme und begründe, gegen welchen Wert beide für \(n\rightarrow\infty\) streben.
AFB II - k. A.Quelle Holger Engels, Stefanie Walz

Bestimmtes Integral

Bestimme den Wert des Integrals:

  1. \[\int_0^\pi \sin(x) \, dx\]
  2. \[\int_0^{2\pi} \sin(x) \, dx\]
  3. \[\int_0^1 e^x \, dx\]
AFB I - K5Quelle Holger Engels

Gegeben ist der Graph einer Funktion f, der die x-Achse bei \(x = 2\) schneidet. Die Teilfläche unterhalb der x-Achse im Intervall \([0; 2]\) beträgt 3 FE, die Teilfläche oberhalb im Intervall \([2; 5]\) beträgt 7 FE.

  1. Bestimme den Wert des Integrals \(\int_{0}^{5} f(x)\,dx\).
  2. Bestimme den geometrischen Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse über \([0; 5]\) einschließt.
  3. Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
AFB I - K1 K6Quelle Holger Engels

Eigenschaften

Veranschauliche und begründe anhand einer Skizze oder anhand der Flächenbilanz, warum folgende Rechenregeln für stetige Funktionen gelten:

  1. \[\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx\]
  2. \[\int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\]
AFB II - K6Quelle k. A.

Ermittle eine aufsteigende Reihenfolge für den Wert der folgenden Integrale

\[\int_{-5}^{5} e^{x+4} \, dx\]
\[\int_{-5}^{5} e^{x-4} \, dx\]
\[\int_{-5}^{5} (-x^5 + 4x^3-2x)\, dx\]
\[\int_{-5}^{5} (\cos(\frac{1}{2}x)-3)\, dx\]
AFB II - K1Quelle Debora Kemm, Benjamin Kaiser

Es gilt für das bestimmte Integral im Intervall \([1; 5]\):

\[\int_{1}^5 f(x) \, dx = 0\]

Gib jeweils eine Funktionsgleichung für \(f\) an, die diese Bedingung erfüllt. Begründe jeweils Deine Wahl.

  1. \(f\) ist eine trigonometrische Funktion.
  2. \(f\) ist eine Polynomfunktion.
AFB II - K2 K5Quelle Holger Engels

Gegeben sind zwei im Intervall \([-5; 5]\) stetige Funktionen \(f\) und \(g\). Es sind keine Funktionsterme bekannt, lediglich die Symmetrieeigenschaften:

  • Der Graph der Funktion \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung
  • Der Graph der Funktion \(g\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse
    und folgende bestimmte Integralwerte:
\[\int\limits_{0}^{3}f(x)\ dx=5\]
\[\int\limits_{0}^{5}g(x)\ dx=14\]
\[\int\limits_{-3}^{3}(f(x)+g(x))\ dx=18\]

Ermittle den exakten Wert des folgenden bestimmten Integrals:

\[\int\limits_{-5}^{-3}g(x)\ dx\]
AFB III - K4 K5Quelle Holger Engels

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I100311
II111111
III000110
Bearbeitungszeit gesamt: 69 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst