Lösung Brunnen

Der gesuchte Brunnen muss von allen drei Dörfern \(A\), \(B\) und \(C\) denselben Abstand haben. Gesucht ist daher der Mittelpunkt des Umkreises \(U\), welcher der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks ist. 

Bei der Konstruktion gehen wir wie folgt vor:

1. Verbinde die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) mit einem Lineal/Geodreieck zu einem Dreieck.
   
2. Erste Mittelsenkrechte konstruieren:
   Stelle den Radius des Zirkels so ein, dass er größer als die Hälfte der Strecke \(AB\) ist. Zeichne jeweils einen Kreisbogen um \(A\) und mit demselben Radius um \(B\). Verbinde die beiden Schnittpunkte der Kreisbögen mit einer Geraden. Dies ist die Mittelsenkrechte \(m_c\) (blau).
   
3. Zweite Mittelsenkrechte konstruieren:
   Wähle eine zweite Dreiecksseite (z. B. \(\overline{BC}\)) und konstruiere analog zum vorherigen Schritt die Mittelsenkrechte \(m_a\) (orange).
   
4. Schnittpunkt markieren: Der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ist der gesuchte Standort des Brunnens (Umkreismittelpunkt \(U\)).
   Zur Überprüfung kannst du mit dem Zirkel in \(U\) einstechen, den Radius bis zu einem der Punkte einstellen und den Umkreis (grün) zeichnen. Der Umkreis muss genau durch alle drei Punkte verlaufen.
   

Hinweis: Da die genaue Position der drei Dörfer zueinander in der Aufgabenstellung nicht vorgegeben ist, hängt die Lage des Brunnens von der Art des entstehenden Dreiecks ab: 

• Spitzwinkliges Dreieck: Der Umkreismittelpunkt \(U\) liegt innerhalb des Dreiecks.
• Rechtwinkliges Dreieck: Der Umkreismittelpunkt \(U\) liegt genau auf der Mitte der Hypotenuse.
• Stumpfwinkliges Dreieck: Der Umkreismittelpunkt \(U\) liegt außerhalb des Dreiecks.