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Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/10/08 17:26
Von Version 85.1
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am 2026/04/30 14:39
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bearbeitet von Holger Engels
am 2026/10/08 17:26
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -xwiki:XWiki.sandravogt
1 +xwiki:XWiki.holgerengels
Inhalt
... ... @@ -21,13 +21,9 @@
21 21  Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
22 22  (%class="abc"%)
23 23  1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
24 -
25 25  1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
26 -
27 27  1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
28 -
29 29  1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
30 -
31 31  {{/aufgabe}}
32 32  
33 33  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -119,41 +119,59 @@
119 119  
120 120  {{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
121 121  
122 -Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
123 -
124 -Alex:
118 +Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen:
119 +
125 125  {{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \mathbb{R}{{/formula}}
126 -{{/aufgabe}}
127 127  
122 +(%class="abc"%)
123 +1. Begründe, ob Alex recht hat.
124 +
125 +1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
126 + {{/aufgabe}}
127 +
128 128  {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
129 -Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
130 - (%class="123"%)
129 +Gib die Definitionsmenge 𝔻 folgender Gleichungen an. Berechne anschließend die Lösungsmenge 𝕃 jeder Gleichung.
130 +(%class="abc"%)
131 131  1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
132 +
132 132  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
133 -1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
134 +
135 +1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
136 +
134 134  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
138 +
135 135  1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
136 136  {{/aufgabe}}
137 137  
138 138  {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
139 -Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
140 -{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
141 - ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
142 - ◦ keine Lösung
143 - ◦ unendlich viele Lösungen
144 - besitzt.
143 +Eine unvollständige Bruchgleichung ist gegeben. Ergänze die Lücke jeweils so, dass die Bruchgleichung
145 145  
145 +{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
146 +
147 +(%class="abc"%)
148 +1. {{formula}} x = -0,5 {{/formula}} als einzige Lösung
149 +1. keine Lösung
150 +1. unendlich viele Lösungen
151 +besitzt.
152 +
146 146  {{/aufgabe}}
147 147  
148 148  {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
149 -Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
150 -{{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
151 -{{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
152 -{{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
156 +Um die Jahreszinsen {{formula}}Z{{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt die folgende Formel:
157 +
158 +{{formula}}Z = \frac{K \cdot p}{ 100 }{{/formula}}
159 +
160 +wobei
161 +{{formula}}K{{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
162 +{{formula}}p{{/formula}}: Zinssatz//,,
163 +
153 153  (%class="abc"%)
154 -1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
155 -1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
156 - Gib hierzu eine Formel an.
165 +1. Bestimme die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
166 +
167 +1. Ermittle eine Formel, mit der man das Kapital nach einem Jahr inkl. Zinsen angeben kann.
168 +
169 +1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich, sondern monatlich berechnet werden.
170 +Gib hierzu eine Formel an.
157 157  {{/aufgabe}}
158 158  
159 159  {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -162,20 +162,22 @@
162 162  {{/aufgabe}}
163 163  
164 164  {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
165 -Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
166 -[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
167 - (%class="abc"%)
168 - 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
169 - 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
170 - 1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
171 - 1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
172 -{{/aufgabe}}
179 +[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}}h{{/formula}} voneinander haben. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}}a{{/formula}}, die kürzere mit {{formula}}c{{/formula}} bezeichnet werden.
180 +
181 +(%class="abc"%)
182 +1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}}a{{/formula}}, {{formula}}c{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}}.
183 +
184 +1. Zur Berechnung des Flächeninahlts {{formula}}A{{/formula}} des Trapezes kann man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multiplizieren. Gib die Formel zur Berechnung von {{formula}}A{{/formula}} an.
185 +
186 +1. Begründe, ob man die Höhe {{formula}}h{{/formula}} mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
187 +
188 +1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt {{formula}}A{{/formula}} des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite {{formula}}a{{/formula}} umgeformt ist. {{/aufgabe}}
173 173  
174 174  {{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
175 175  Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
176 176  In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
177 177  In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
178 - (%class="abc"%)
194 +(%class="abc"%)
179 179  1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
180 180  1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
181 181  1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.