Lösung Gaußverteilung im Sachzusammenhang
Das Maximum der Glockenkurve liegt genau beim Erwartungswert. Vergleicht man die Funktion \(f(x)\) mit der allgemeinen Form der Gaußschen Glockenfunktion \(\varphi(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\), lässt sich der Erwartungswert direkt ablesen: \(\mu=20\).
Den zugehörigen y-Wert erhalten wir durch Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(f(20)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\cdot e^0=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\approx 0{,}0997\). Der Hochpunkt ist somit \(H(20 \mid 0{,}0997)\).Wendepunkte: Die Wendepunkte der Normalverteilung liegen exakt eine Standardabweichung nach links und rechts vom Erwartungswert (\(\mu - \sigma\) und \(\mu + \sigma\)). Auch die Standardabweichung lässt sich durch Vergleich mit der allgemeinen Form ablesen: \(\sigma=4\).
Die Wendestellen sind demnach bei \(x_1 = 16\) und \(x_2 = 24\). Für die zugehörigen Funktionswerte gilt: \(f(16)=f(24)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}}\approx 0{,}0605\).
Die Wendepunkte sind also näherungsweise: \(W_1(16 \mid 0{,}0605)\) und \(W_2(24 \mid 0{,}0605)\).Die Grenzen des Integrals liegen jeweils genau eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt.
Für eine Normalverteilung gilt nach den Sigma-Regeln in der Merkhilfe: \(P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx 0{,}683\)
Daher ist: \(\int_{16}^{24}f(x)\, \mathrm{d}x= P(16 \leq X\leq 24) = P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx 0{,}683\)Die Funktion beschreibt eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert \(\mu=20\) und der Standardabweichung \(\sigma=4.\)
Bei einer Binomialverteilung gilt:
\(\mu=n\cdot p\)
und
\(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.\)Damit ergeben sich die Gleichungen:
\(\text{(I)} \ 20= np\)
und
\(\text{(II)} \ 4= \sqrt{np(1-p)}.\)Wir setzen nun \(\text{I}\) in \(\text{II}\) ein und stellen nach \(p\) um:
\(\begin{align*} && \sqrt{20(1-p)} &= 4 && \mid ()^2 \\ && 20(1-p) &= 16 && \mid :20 \\ \Leftrightarrow && 1-p &= \frac{16}{20} = \frac{4}{5} && \mid -1 \\ \Leftrightarrow && -p &= -\frac{1}{5} && \mid :(-1) \\ \Leftrightarrow && p &= \frac{1}{5} = 0{,}2 \end{align*}\)Setzen wir nun \(p=0{,}2\) in \(\text{(I)}\) ein, so erhalten wir für \(n\):
\[\begin{align*} &&n\cdot 0{,}2&=20 && \mid :0{,}2\\ \Leftrightarrow &&n&= 100 \end{align*}\]Somit ist \(p=0{,}2\) und \(n=100\).
Da die Standardabweichung größer als 3 ist und der Stichprobenumfang hinreichend groß ist, lässt sich die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung annähern. Die gegebene Dichtefunktion \(f\) beschreibt somit in guter Näherung die Verteilung der Anzahl \(X\) der Personen, die in einer zufällig ausgewählten Gruppe von \(100\) Personen angeben, diese Partei wählen zu wollen.
Es gilt \(\int_{16}^{24}f(x) \mathrm{d}x\approx 0{,}683\).
Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass in einer zufällig ausgewählten Gruppe von \(100\) Personen zwischen \(16\) und \(24\) Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(68{,}3%\) angeben, diese Partei wählen zu wollen.