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Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/09/08 17:02
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1 (%class=abc%)
2 1. (((
3 [[image:Dichtefunktion.svg||width="400"]]
4 Das Maximum der Glockenkurve liegt genau beim Erwartungswert. Vergleicht man die Funktion {{formula}}f(x){{/formula}} mit der allgemeinen Form der Gaußschen Glockenfunktion {{formula}}\varphi(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}{{/formula}}, lässt sich der Erwartungswert direkt ablesen: {{formula}}\mu=20{{/formula}}.
5 Den zugehörigen y-Wert erhalten wir durch Einsetzen in die Funktionsgleichung: {{formula}}f(20)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\cdot e^0=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\approx 0{,}0997{{/formula}}. Der Hochpunkt ist somit {{formula}}H(20 \mid 0{,}0997){{/formula}}.
6
7 Wendepunkte: Die Wendepunkte der Normalverteilung liegen exakt eine Standardabweichung nach links und rechts vom Erwartungswert ({{formula}}\mu - \sigma{{/formula}} und {{formula}}\mu + \sigma{{/formula}}). Auch die Standardabweichung lässt sich durch Vergleich mit der allgemeinen Form ablesen: {{formula}}\sigma=4{{/formula}}.
8 Die Wendestellen sind demnach bei {{formula}}x_1 = 16{{/formula}} und {{formula}}x_2 = 24{{/formula}}. Für die zugehörigen Funktionswerte gilt: {{formula}}f(16)=f(24)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}}\approx 0{,}0605{{/formula}}.
9 Die Wendepunkte sind also näherungsweise: {{formula}}W_1(16 \mid 0{,}0605){{/formula}} und {{formula}}W_2(24 \mid 0{,}0605){{/formula}}.)))
10 1. (((Die Grenzen des Integrals liegen jeweils genau eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt.
11 Für eine Normalverteilung gilt nach den Sigma-Regeln in der Merkhilfe: {{formula}}P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx 0{,}683{{/formula}}
12 Daher ist: {{formula}}\int_{16}^{24}f(x)\, \mathrm{d}x= P(16 \leq X\leq 24) = P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx 0{,}683{{/formula}})))
13 1. (((Die Funktion beschreibt eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert {{formula}}\mu=20{{/formula}} und der Standardabweichung {{formula}}\sigma=4.{{/formula}}
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15 Bei einer Binomialverteilung gilt:
16 {{formula}}\mu=n\cdot p{{/formula}}
17 und
18 {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.{{/formula}}
19
20 Damit ergeben sich die Gleichungen:
21 {{formula}}\text{(I)} \ 20= np{{/formula}}
22 und
23 {{formula}}\text{(II)} \ 4= \sqrt{np(1-p)}.{{/formula}}
24
25 Wir setzen nun {{formula}}\text{I}{{/formula}} in {{formula}}\text{II}{{/formula}} ein und stellen nach {{formula}}p{{/formula}} um:
26 {{formula}}
27 \begin{align*}
28 && \sqrt{20(1-p)} &= 4 && \mid ()^2 \\
29 && 20(1-p) &= 16 && \mid :20 \\
30 \Leftrightarrow && 1-p &= \frac{16}{20} = \frac{4}{5} && \mid -1 \\
31 \Leftrightarrow && -p &= -\frac{1}{5} && \mid :(-1) \\
32 \Leftrightarrow && p &= \frac{1}{5} = 0{,}2
33 \end{align*}
34 {{/formula}}
35
36 Setzen wir nun {{formula}}p=0{,}2{{/formula}} in {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} ein, so erhalten wir für {{formula}}n{{/formula}}:
37
38 {{formula}}
39 \begin{align*}
40 &&n\cdot 0{,}2&=20 && \mid :0{,}2\\
41 \Leftrightarrow &&n&= 100
42 \end{align*}
43 {{/formula}}
44
45 Somit ist {{formula}}p=0{,}2{{/formula}} und {{formula}}n=100{{/formula}}.
46
47 Da die Standardabweichung größer als 3 ist und der Stichprobenumfang hinreichend groß ist, lässt sich die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung annähern. Die gegebene Dichtefunktion {{formula}}f{{/formula}} beschreibt somit in guter Näherung die Verteilung der Anzahl {{formula}}X{{/formula}} der Personen, die in einer zufällig ausgewählten Gruppe von {{formula}}100{{/formula}} Personen angeben, diese Partei wählen zu wollen.
48 )))
49 1. (((Es gilt {{formula}}\int_{16}^{24}f(x) \mathrm{d}x\approx 0{,}683{{/formula}}.
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51 Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass in einer zufällig ausgewählten Gruppe von {{formula}}100{{/formula}} Personen zwischen {{formula}}16{{/formula}} und {{formula}}24{{/formula}} Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa {{formula}}68{,}3%{{/formula}} angeben, diese Partei wählen zu wollen.
52 )))