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Lösung Stichprobe

Zuletzt geändert von Henrik Horstmann am 2026/10/20 13:49

Ergebnis

  • Ohne Zurücklegen sind mindestens 5 Ziehungen nötig.
  • Mit Zurücklegen sind mindestens 7 Ziehungen nötig.

Der Schlüssel ist das Gegenereignis: Statt alle Möglichkeiten mit mindestens einer roten Kugel einzeln zu betrachten, berechnet man die Wahrscheinlichkeit, nur blaue Kugeln zu ziehen.

\[P(\text{mindestens einmal Rot})=1-P(\text{nur Blau})\]

Die geforderte Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent wird also genau dann erreicht, wenn gilt:

\[P(\text{nur Blau})\leq 0{,}1\]

Lösungsweg 1: Pfadregel und schrittweises Rechnen

Ohne Zurücklegen

Wird eine blaue Kugel gezogen, liegen anschließend weniger blaue Kugeln und insgesamt weniger Kugeln in der Urne. Für den Pfad „nur Blau“ werden deshalb die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten multipliziert.

Nach vier Ziehungen gilt:

\[P(\text{nur Blau bei 4 Ziehungen})=\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}\cdot\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{1}{6}\]

Damit ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Kugel noch zu klein:

\[P(\text{mindestens einmal Rot bei 4 Ziehungen})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\approx 83{,}33\,\%\]

Nach fünf Ziehungen gilt:

\[P(\text{nur Blau bei 5 Ziehungen})=\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}\cdot\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}=\frac{1}{12}\]

Also:

\[P(\text{mindestens einmal Rot bei 5 Ziehungen})=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\approx 91{,}67\,\%\]

Vier Ziehungen reichen nicht, fünf reichen aus. Da die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen roten Treffer mit zusätzlichen Ziehungen nicht abnimmt, sind fünf Ziehungen die kleinste mögliche Anzahl.

Mit Zurücklegen

Bei jeder Ziehung beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau erneut sieben Zehntel. Die Ziehungen sind unabhängig. Daher gilt:

\[P(\text{nur Blau bei }n\text{ Ziehungen})=0{,}7^n\]

Für sechs Ziehungen erhält man:

\[P(\text{mindestens einmal Rot bei 6 Ziehungen})=1-0{,}7^6=0{,}882351=88{,}2351\,\%\]

Für sieben Ziehungen erhält man:

\[P(\text{mindestens einmal Rot bei 7 Ziehungen})=1-0{,}7^7=0{,}9176457=91{,}76457\,\%\]

Sechs Ziehungen reichen nicht, sieben reichen aus. Deshalb sind mindestens sieben Ziehungen nötig.

Lösungsweg 2: Kombinatorik beziehungsweise Logarithmen

Ohne Zurücklegen: Kugelauswahlen zählen

Man kann sich die Kugeln zur Rechnung nummeriert vorstellen, auch wenn sie sich tatsächlich nur in ihrer Farbe unterscheiden.

Bei einer Auswahl von \(n\) Kugeln gibt es insgesamt \(\binom{10}{n}\) gleich wahrscheinliche Kugelmengen. Davon enthalten \(\binom{7}{n}\) ausschließlich blaue Kugeln. Für höchstens sieben Ziehungen gilt somit:

\[P(\text{mindestens einmal Rot})=1-\frac{\binom{7}{n}}{\binom{10}{n}}\]

Für vier beziehungsweise fünf Ziehungen folgt:

\[P(\text{mindestens einmal Rot bei 4 Ziehungen})=1-\frac{\binom{7}{4}}{\binom{10}{4}}=1-\frac{35}{210}=\frac{5}{6}<0{,}9\]
\[P(\text{mindestens einmal Rot bei 5 Ziehungen})=1-\frac{\binom{7}{5}}{\binom{10}{5}}=1-\frac{21}{252}=\frac{11}{12}>0{,}9\]

Damit ergibt sich wieder: mindestens fünf Ziehungen.

Mit Zurücklegen: Ungleichung lösen

Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl \(n\), für die gilt:

\[1-0{,}7^n\geq 0{,}9 \quad\Longleftrightarrow\quad 0{,}7^n\leq 0{,}1\]

Logarithmieren liefert:

\[n\ln(0{,}7)\leq\ln(0{,}1)\]

Achtung: Da \(\ln(0{,}7)\) negativ ist, dreht sich beim Dividieren das Ungleichheitszeichen um.

\[n\geq\frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}7)}\approx 6{,}456\]

Da nur ganze Ziehungen möglich sind, wird aufgerundet: mindestens sieben Ziehungen.

Lösungsweg 3: Wertetabelle

Auch durch systematisches Berechnen der Trefferwahrscheinlichkeiten lässt sich die Mindestanzahl bestimmen. Die Werte sind gerundet.

Anzahl der ZiehungenMindestens einmal Rot: ohne ZurücklegenMindestens einmal Rot: mit Zurücklegen
130,00 %30,00 %
253,33 %51,00 %
370,83 %65,70 %
483,33 %75,99 %
591,67 %83,19 %
696,67 %88,24 %
799,17 %91,76 %

Die erste Überschreitung der 90-Prozent-Grenze erfolgt ohne Zurücklegen bei der fünften, mit Zurücklegen bei der siebten Ziehung.

Vergleich und Begründung

Ohne Zurücklegen erreicht man das Ziel mit zwei Ziehungen weniger.

Solange noch keine rote Kugel gezogen wurde, wurden ausschließlich blaue Kugeln entfernt. Dadurch steigt der Rotanteil in der verbleibenden Urne: Die Wahrscheinlichkeit für Rot bei der nächsten Ziehung steigt zunächst von \(\frac{3}{10}\) auf \(\frac{3}{9}\), dann auf \(\frac{3}{8}\) und so weiter.

Mit Zurücklegen bleibt die Zusammensetzung dagegen unverändert. Die Wahrscheinlichkeit für Rot beträgt bei jeder Ziehung weiterhin 30 Prozent.