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Version 1.1 von Anna Kukin am 2026/10/17 22:46
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1 Der Abstand von Punkt {{formula}}Q{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}} {{formula}}d(Q;g){{/formula}} soll {{formula}}2\ \text{LE}{{/formula}} betragen, also ein Drittel des Abstandes {{formula}}d(P;g)=6\ \text{LE}{{/formula}}.
2 Da der Abstand eines Punktes zu einer Geraden senkrecht zur Geraden gemessen wird, bestimmen wir zunächst den Lotfußpunkt {{formula}}F{{/formula}} von {{formula}}P{{/formula}} auf {{formula}}g{{/formula}}.
3 Anschließend können wir einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}} bestimmen, indem wir von {{formula}}F{{/formula}} aus ein Drittel der Strecke {{formula}}\overline{FP}{{/formula}} in Richtung {{formula}}P{{/formula}} gehen: {{formula}}\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OF} + \frac{1}{3}\overrightarrow{FP}{{/formula}}.
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5 //Lösungsweg 1 (mit Lotgerade)//:
6 Wir wählen den allgemeinen Punkt {{formula}}G_t(4+t|-3-2t|1+2t){{/formula}} auf {{formula}}g{{/formula}} und bestimmen den allgemeinen Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_t}{{/formula}}:
7 {{formula}}\overrightarrow{PG_t}=\begin{pmatrix}4+t\\-3-2t\\1+2t\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6+t\\-6-2t\\ 2t\end{pmatrix}{{/formula}}
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9 Der Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_t}{{/formula}} muss senkrecht zu dem Richtungsvektor von {{formula}}g{{/formula}} sein. Das heißt, das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null sein:
10 {{formula}}
11 \begin{align*}
12 \begin{pmatrix}6+t\\-6-2t\\ 2t\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\ 2\end{pmatrix}&=0 \\
13 \Leftrightarrow 1\cdot (6+t)+(-2)\cdot (-6-2t)+2\cdot 2t&=0 \\
14 \Leftrightarrow 6+t+12+4t+4t&=0 \\
15 \Leftrightarrow 18+9t&=0\\
16 \Leftrightarrow 18&=-9t\\
17 \Leftrightarrow t&=-\frac{18}{9}=-2
18 \end{align*}
19 {{/formula}}
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21 Wir erhalten nun den Lotfußpunkt {{formula}}F{{/formula}}, indem wir {{formula}}t=-2{{/formula}} in {{formula}}g{{/formula}} einsetzen:
22 {{formula}}\begin{pmatrix}4\\-3\\1\end{pmatrix}+(-2)\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} \Rightarrow F(2|1|-3){{/formula}}
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24 Wir bestimmen nun den Vektor {{formula}}\overrightarrow{FP}=\begin{pmatrix}-2-2\\3-1\\1-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}{{/formula}}.
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26 Nun können wir den Punkt {{formula}}Q{{/formula}} bestimmen durch {{formula}}\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OF} + \frac{1}{3}\overrightarrow{FP}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-\frac{4}{3}\\1+\frac{2}{3}\\-3+\frac{4}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\ \frac{5}{3}\\ -\frac{5}{3}\end{pmatrix}{{/formula}}.
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28 Der Punkt lautet somit {{formula}}Q\left(\frac{2}{3} \mid \frac{5}{3} \mid -\frac{5}{3}\right){{/formula}}.
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31 //Lösungsweg 2 (mit Lotebene)//:
32 Wir stellen zunächst die Ebene {{formula}}E{{/formula}} auf, die senkrecht zu {{formula}}g{{/formula}} ist (Hilfsebene). Dazu verwenden wir den Richtungsvektor von {{formula}}g{{/formula}} als Normalenvektor der Ebene:
33 {{formula}}E: \ x_1-2x_2+2x_3=d{{/formula}}
34 Wir erhalten {{formula}}d{{/formula}} durch Einsetzen von {{formula}}P(-2|3|1){{/formula}} in {{formula}}E{{/formula}}:
35 {{formula}}-2-2\cdot 3+2\cdot 1=d \ \Leftrightarrow \ -6=d \implies E: \ x_1-2x_2+2x_3=-6{{/formula}}
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37 Nun berechnen wir den Schnittpunkt {{formula}}F{{/formula}} der Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit der Geraden {{formula}}g{{/formula}} (Lotfußpunkt), indem wir zunächst den allgemeinen Geradenpunkt {{formula}}G_t(4+t|-3-2t|1+2t){{/formula}} in die Ebene einsetzen:
38 {{formula}}
39 \begin{align*}
40 (4 + t) - 2\cdot(-3 - 2t) + 2\cdot(1 + 2t) &= -6 \\
41 \Leftrightarrow 4 + t + 6 + 4t + 2 + 4t &= -6 \\
42 \Leftrightarrow 9t + 12 &= -6 \\
43 \Leftrightarrow 9t &= -18 \\
44 \Leftrightarrow t &= -2
45 \end{align*}
46 {{/formula}}
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48 Anschließend setzen wir {{formula}}t=-2{{/formula}} in {{formula}}g{{/formula}} ein: {{formula}}\begin{pmatrix}4\\-3\\1\end{pmatrix}+(-2)\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} \Rightarrow F(2|1|-3){{/formula}}
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50 Wir bestimmen nun den Vektor {{formula}}\overrightarrow{FP}=\begin{pmatrix}-2-2\\3-1\\1-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}{{/formula}}.
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52 Nun können wir den Punkt {{formula}}Q{{/formula}} bestimmen durch {{formula}}\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OF} + \frac{1}{3}\overrightarrow{FP}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-\frac{4}{3}\\1+\frac{2}{3}\\-3+\frac{4}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\ \frac{5}{3}\\ -\frac{5}{3}\end{pmatrix}{{/formula}}.
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54 Der Punkt lautet somit {{formula}}Q\left(\frac{2}{3} \mid \frac{5}{3} \mid -\frac{5}{3}\right){{/formula}}.