Zum Inhalt springen

Lösung Abstand Punkt Koordinatenebene

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/10/23 13:40
  1. Der Abstand zur \(xy\)-Ebene entspricht dem Betrag der \(z\)-Koordinate des Punktes, das heißt \(d(P;Z)=|z_P|=4\).
    Alternativ lässt sich der Abstand auch über die Formel aus der Merkhilfe berechnen: \(d(P;Z)=\left|\frac{0\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot 4-0}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}} \right|=\left|\frac{4}{1} \right|=4\)
  2. Alle Punkte, die den Abstand \(4\ \text{LE}\) zur Ebene \(Z\) besitzen, besitzen die \(z\)-Koordinate \(z = 4\) oder \(z = -4\). Mögliche Punkte sind beispielsweise \(A(0|0|4), B(1|3|-4), C(0|0|-4)\).
    PunktEbenegleicherAbstand.svg
  3. Die Punkte, die von \(Z\) denselben Abstand haben wie \(P\), liegen alle auf dem Ebenenpaar, das parallel zur Ebene \(Z\) verläuft (auf den Ebenen \(E_1:\ z = 4, \quad E_2:\ z = -4\))
    Die Punkte, deren Abstand von \(Z\) doppelt so groß ist, liegen ebenfalls auf einem Ebenenpaar (\(E_3:\ z = 8, \quad E_4:\ z = -8\)).