Wiki-Quellcode von Lösung Abstand Punkt Gerade
Version 3.1 von Anna Kukin am 2026/10/15 14:50
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | (% class="abc" %) | ||
| 2 | 1. (((//Lösungsweg 1 (mit Lotgerade)//: | ||
| 3 | Wir wählen den allgemeinen Punkt {{formula}}Q_t(1|3+t|t){{/formula}} auf {{formula}}g{{/formula}} und bestimmen den allgemeinen Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ_t}{{/formula}}: | ||
| 4 | {{formula}}\overrightarrow{PQ_t}=\begin{pmatrix}1\\3+t\\t\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\t\\ t-5\end{pmatrix}{{/formula}} | ||
| 5 | |||
| 6 | Der Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ_t}{{/formula}} muss senkrecht zu dem Richtungsvektor von {{formula}}g{{/formula}} sein. Das heißt, das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null sein: | ||
| 7 | {{formula}} | ||
| 8 | \begin{align*} | ||
| 9 | \begin{pmatrix}0\\t\\ t-5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\ 1\end{pmatrix}&=0 \\ | ||
| 10 | \Leftrightarrow t+t-5&=0 \\ | ||
| 11 | \Leftrightarrow 2t-5&=0 \\ | ||
| 12 | \Leftrightarrow 2t&=5\\ | ||
| 13 | \Leftrightarrow t&=\frac{5}{2}=2{,}5 | ||
| 14 | \end{align*} | ||
| 15 | {{/formula}} | ||
| 16 | |||
| 17 | Wir erhalten nun den Lotfußpunkt {{formula}}F{{/formula}} indem wir {{formula}}t=2{,}5{{/formula}} in {{formula}}g{{/formula}} einsetzen: | ||
| 18 | {{formula}}\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+2{,}5\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5{,}5\\2{,}5\end{pmatrix} \Rightarrow F(1|5{,}5|2{,}5){{/formula}} | ||
| 19 | |||
| 20 | Um nun den Abstand des Punktes zur Geraden zu berechnen, berechnen wir die Länge der Strecke {{formula}}\overline{PF}{{/formula}}: | ||
| 21 | {{formula}}d(P;g)=|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{(1-1)^2+(5{,}5-3)^2+(2{,}5-5)^2}=\sqrt{2{,}5^2+(-2{,}5)^2}\approx 3{,}54 \text{LE}{{/formula}} | ||
| 22 | |||
| 23 | //Lösungsweg 2 (mit Lotebene)//: | ||
| 24 | Wir stellen zunächst die Ebene {{formula}}E{{/formula}} auf, die senkrecht zu {{formula}}g{{/formula}} ist (Hilfsebene). Dazu verwenden wir den Richtungsvektoren von {{formula}}g{{/formula}} als Normalenvektor der Ebene: | ||
| 25 | {{formula}}E: \ x_2+x_3=d{{/formula}} | ||
| 26 | Wir erhalten {{formula}}d{{/formula}} durch Einsetzen von {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} in {{formula}}E{{/formula}}: | ||
| 27 | {{formula}}3+5=d \ \Leftrightarrow \ 8=d \implies E, \ x_2+x_3=8{{/formula}} | ||
| 28 | |||
| 29 | Nun berechnen wir den Schnittpunkt {{formula}}F{{/formula}} der Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit der Geraden {{formula}}g{{/formula}} (Lotfußpunkt), indem wir den allgemeinen Geradenpunkt {{formula}}Q_t(1|3+t|t){{/formula}} in die Ebene einsetzen | ||
| 30 | {{formula}}(3+t)+t=9 \ \Leftrightarrow \ 2t=5 \ \Leftrightarrow \ t=\frac{5}{2}=2{,}5{{/formula}} | ||
| 31 | und anschließend {{formula}}t=2{,}5{{/formula}} in die Geradengleichung einsetzen: {{formula}}\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+2{,}5\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5{,}5\\2{,}5\end{pmatrix} \Rightarrow F(1|5{,}5|2{,}5){{/formula}} | ||
| 32 | Um nun den Abstand des Punktes zur Geraden zu berechnen, berechnen wir die Länge der Strecke {{formula}}\overline{PF}{{/formula}}: | ||
| 33 | {{formula}}d(P;g)=|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{(1-1)^2+(5{,}5-3)^2+(2{,}5-5)^2}=\sqrt{2{,}5^2+(-2{,}5)^2}\approx 3{,}54 \text{LE}{{/formula}} | ||
| 34 | ))) |