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Wiki-Quellcode von Lösung Pyramide

Version 1.1 von Debora Kemm am 2026/10/20 13:48
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1 1. Form der Grundfläche bestimmen
2 Vom Punkt A aus ergeben sich die Seitenvektoren:
3 {{formula}}
4 \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\2\\0\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
5 Da außerdem {{formula}}\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB} {{/formula}} und {{formula}} \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}{{/formula}} gelten, ist die Grundfläche ein Parallelogramm.
6 2. Grundflächeninhalt berechnen
7 Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist der Betrag des Kreuzprodukts seiner Seitenvektoren:
8 {{formula}}
9 G=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\right|
10 \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\cdot0-0\cdot4\\0\cdot2-6\cdot0\\6\cdot4-2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\20\end{pmatrix} {{/formula}}
11 Damit beträgt der Grundflächeninhalt:
12 {{formula}}
13 G=20\,\mathrm{m}^2 {{/formula}}
14 3. Höhe und Volumen bestimmen
15 Alle Eckpunkte der Grundfläche liegen in der Ebene z=0. Die Spitze S(3|3|5) hat zu dieser Ebene den senkrechten Abstand:
16 {{formula}}h=5\,\mathrm{m}{{/formula}}
17 Für das Volumen einer Pyramide gilt:
18 {{formula}}V=\frac{1}{3}Gh=\frac{1}{3}\cdot20\cdot5\,\mathrm{m}^3=\frac{100}{3}\,\mathrm{m}^3\approx33{,}33\,\mathrm{m}^3{{/formula}}
19 Der Pavillon enthält rund {{formula}}33{,}33\,\mathrm{m}^3 {{/formula}} Luft.
20 4. Aussage des Planungsteams überprüfen
21 Wird die Spitze senkrecht um einen Meter angehoben, liegt sie bei S'(3|3|6). Die Grundfläche bleibt unverändert, die neue Höhe beträgt {{formula}}h'=6\,\mathrm{m}{{/formula}}.
22 {{formula}}V'=\frac{1}{3}\cdot20\cdot6\,\mathrm{m}^3=40\,\mathrm{m}^3{{/formula}}
23 Die relative Volumenzunahme beträgt:
24 {{formula}}\frac{V'-V}{V}=\frac{40-\frac{100}{3}}{\frac{100}{3}}=\frac{1}{5}=20\,\%{{/formula}}
25 Die Aussage des Planungsteams stimmt: Bei unveränderter Grundfläche ist das Pyramidenvolumen proportional zur Höhe. Eine Erhöhung von fünf auf sechs Meter vergrößert daher auch das Volumen um zwanzig Prozent.