Lösung Pyramide
Version 1.1 von Debora Kemm am 2026/10/20 13:48
- Form der Grundfläche bestimmen
Vom Punkt A aus ergeben sich die Seitenvektoren:
\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\2\\0\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix} \)
Da außerdem \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB} \) und \( \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\) gelten, ist die Grundfläche ein Parallelogramm.
2. Grundflächeninhalt berechnen
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist der Betrag des Kreuzprodukts seiner Seitenvektoren:
\(G=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\right| \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\cdot0-0\cdot4\\0\cdot2-6\cdot0\\6\cdot4-2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\20\end{pmatrix} \)
Damit beträgt der Grundflächeninhalt:
\(G=20\,\mathrm{m}^2 \)
3. Höhe und Volumen bestimmen
Alle Eckpunkte der Grundfläche liegen in der Ebene z=0. Die Spitze S(3|3|5) hat zu dieser Ebene den senkrechten Abstand:
\(h=5\,\mathrm{m}\)
Für das Volumen einer Pyramide gilt:
\(V=\frac{1}{3}Gh=\frac{1}{3}\cdot20\cdot5\,\mathrm{m}^3=\frac{100}{3}\,\mathrm{m}^3\approx33{,}33\,\mathrm{m}^3\)
Der Pavillon enthält rund \(33{,}33\,\mathrm{m}^3 \) Luft.
4. Aussage des Planungsteams überprüfen
Wird die Spitze senkrecht um einen Meter angehoben, liegt sie bei S'(3|3|6). Die Grundfläche bleibt unverändert, die neue Höhe beträgt \(h'=6\,\mathrm{m}\).
\(V'=\frac{1}{3}\cdot20\cdot6\,\mathrm{m}^3=40\,\mathrm{m}^3\)
Die relative Volumenzunahme beträgt:
\(\frac{V'-V}{V}=\frac{40-\frac{100}{3}}{\frac{100}{3}}=\frac{1}{5}=20\,\%\)
Die Aussage des Planungsteams stimmt: Bei unveränderter Grundfläche ist das Pyramidenvolumen proportional zur Höhe. Eine Erhöhung von fünf auf sechs Meter vergrößert daher auch das Volumen um zwanzig Prozent.