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Wiki-Quellcode von Lösung Gegenseitige Lage

Zuletzt geändert von Johannes Scherer am 2026/10/08 16:16
Verstecke letzte Bearbeiter
Johannes Scherer 1.1 1 (%class=abc%)
Johannes Scherer 2.1 2 Zunächst prüft man, ob die Richtungsvektoren von 2 Geraden Vielfache voneinadner (also kollinear) sind. Man erkennt, dass die Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} kollinear sind.
Johannes Scherer 1.1 3
4 Daraus folgt, dass diese Geraden parallel oder identisch sind.
5
6 Um dies zu prüfen, nimmt man z.B. den Punkt {{formula}}P(4|-2|1) {{/formula}} auf den der Stützvektor von {{formula}}g_1{{/formula}} zeigt, und prüft, ob dieser auf der Gerade {{formula}}g_3{{/formula}} liegt (Punktprobe):
7
8 {{formula}}
9 \begin{align*}
10 \ 4-3s&=0\\
11 \ -2+0s&=0\\
12 \ 1+s&=6
13 \end{align*}
14 {{/formula}}
15 Bereits aus der 2. Gleichung ergibt sich die falsche Aussage {{formula}} -2 = 0 {{/formula}}.
16 Da der Punkt nicht auf der Gerade liegt, sind nicht identisch, sondern parallel.
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19 Die weiteren Geraden setzen wir jeweils gleich, um zu prüfen, ob sie einen Schnittpunkt haben oder windschief sind.
20
Johannes Scherer 2.1 21 Wir setzen die beiden Geradengleichungen {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}} gleich:
Johannes Scherer 1.1 22
23 {{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
24
25 Dabei erhalten wir das LGS
26 {{formula}}
27 \begin{align*}
28 \text{I}: \ 4-3s&=6+5t\\
29 \text{II}: \ \quad -2&=0+2t\\
30 \text{III}:\ \ \ 1+s&=2
31 \end{align*}
32 {{/formula}}
33
34 Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}} 1+s=2 \ \Leftrightarrow \ s=1{{/formula}}.
35 Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}}: {{formula}}-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1{{/formula}}.
36 Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: {{formula}}4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1{{/formula}}.
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38 Da das LGS eindeutig lösbar ist, schneiden sich die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von zum Beispiel {{formula}}s=1{{/formula}} in {{formula}}g_1{{/formula}} (alternativ {{formula}}t=-1{{/formula}} in {{formula}}g_2{{/formula}}):
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40 {{formula}}\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1|-2|2){{/formula}}.
41
Johannes Scherer 2.1 42 {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
Johannes Scherer 1.1 43
44 Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
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46 {{formula}}\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}
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48 LGS:
49 {{formula}}
50 \begin{align*}
51 \text{I}: \ 6+5s&=0+3t\\
52 \text{II}: \ 0+2s&=0\\
53 \text{III}:\ 2+0s&=6-t
54 \end{align*}
55 {{/formula}}
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57 Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2s=0 \ \Leftrightarrow \ s=0{{/formula}}.
58 Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2=6-t \ \Leftrightarrow \ t=4{{/formula}}.
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60 Einsetzen von {{formula}}s=0{{/formula}} und {{formula}}t=4{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die falsche Aussage:
61 {{formula}}6+5\cdot 0=3\cdot 4 \ \Leftrightarrow \ 6=12{{/formula}}.
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Johannes Scherer 2.1 64 Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} keine Vielfachen voneinander sind, sind die Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} windschief.