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Lösung Gegenseitige Lage

Version 1.1 von Johannes Scherer am 2026/10/08 16:11

  1. Zunächst prüft man, ob die Richtungsvektoren von 2 Geraden Vielfache voneinadner (also kollinear) sind. Man erkennt, dass die Richtungsvektoren der Geraden \(g_1\) und \(g_3\) kollinear sind.

    Daraus folgt, dass diese Geraden parallel oder identisch sind.

    Um dies zu prüfen, nimmt man z.B. den Punkt \(P(4|-2|1) \) auf den der Stützvektor von \(g_1\) zeigt, und prüft, ob dieser auf der Gerade \(g_3\) liegt (Punktprobe):

    \(\begin{align*} \ 4-3s&=0\\ \ -2+0s&=0\\ \ 1+s&=6 \end{align*}\)
    Bereits aus der 2. Gleichung ergibt sich die falsche Aussage \( -2 = 0 \).
    Da der Punkt nicht auf der Gerade liegt, sind nicht identisch, sondern parallel.

    Die weiteren Geraden setzen wir jeweils gleich, um zu prüfen, ob sie einen Schnittpunkt haben oder windschief sind.

  2. Wir setzen die beiden Geradengleichungen \(g_1\) und \(g_2\) gleich:

    \[\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\]

    Dabei erhalten wir das LGS
    \(\begin{align*} \text{I}: \ 4-3s&=6+5t\\ \text{II}: \ \quad -2&=0+2t\\ \text{III}:\ \ \ 1+s&=2 \end{align*}\)

    Aus Gleichung \(\text{III}\) folgt: \( 1+s=2 \ \Leftrightarrow \ s=1\).
    Aus Gleichung \(\text{II}\): \(-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1\).
    Einsetzen von \(s=1\) und \(t=-1\) in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: \(4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1\).

    Da das LGS eindeutig lösbar ist, schneiden sich die Geraden \(g_1\) und \(g_2\). Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von zum Beispiel \(s=1\) in \(g_1\) (alternativ \(t=-1\) in \(g_2\)):

    \(\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1|-2|2)\).

  1. \(g_2\) und \(g_3\):

    Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:

    \[\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\]

    LGS:
    \(\begin{align*} \text{I}: \ 6+5s&=0+3t\\ \text{II}: \ 0+2s&=0\\ \text{III}:\ 2+0s&=6-t \end{align*}\)

    Aus Gleichung \(\text{II}\) folgt: \( 2s=0 \ \Leftrightarrow \ s=0\).
    Aus Gleichung \(\text{III}\) folgt: \( 2=6-t \ \Leftrightarrow \ t=4\).

    Einsetzen von \(s=0\) und \(t=4\) in die erste Gleichung liefert die falsche Aussage:
    \(6+5\cdot 0=3\cdot 4 \ \Leftrightarrow \ 6=12\).

    Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\) keine Vielfachen voneinander sind, sind die Geraden \(g_2\) und \(g_3\) windschief.