BPE 16.2g Gegenseitige Lage von Geraden

1  Gegenseitige Lage  (30 min) 𝕃

Gegeben sind die drei Geraden:

\(g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix}+t_1\cdot\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\); \(t_1\in \mathbb{R}\)

\(g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix}+t_2\cdot\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\); \(t_2\in \mathbb{R}\)

\(g_3:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix}+t_3\cdot\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\); \(t_3\in \mathbb{R}\)

Bestimme jeweils die gegenseiteige Lage von

1. \(g_1\) und \(g_2\)
2. \(g_1\) und \(g_3\)
3. \(g_2\) und \(g_3\).

Berechne ggf. die Koordinaten des Schnittpunkts.

2  Schnittwinkel  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die Geraden:

\(g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix}+t_1\cdot\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\); \(t_1\in \mathbb{R}\)

\(g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 2\end{pmatrix}+t_2\cdot\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\); \(t_2\in \mathbb{R}\)

1. Ermittle den Schnittwinkel \(\alpha\) der Geraden.
2. Gib Parallelen zu \(g_2\) an, die mit \(g_1\) den gleichen Schnittwinkel \(\alpha\) wie \(g_2\) haben.

3  Rückwärts  (5 min) 𝕃

Gegeben ist die Gerade g durch:

Bestimme jeweils eine Gerade, die ...

1. echt parallel zu g ist.
2. g orthogonal schneidet.
3. windschief zu g ist.

Erläutere deine Überlegungen.

4  Lagebeziehung mit Parameter  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die Geraden:

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-4\\ 0\\ 4\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\ 4\\ 2\end{pmatrix}\)
\(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}a\\ 4\\ 6\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\ 8\\ b\end{pmatrix}\) \( t,s \in R \)

Bestimme die Parameter a und b (\( a,b \in R \)), sodass….
a) …die Geraden g und h identisch sind.
b) …die Geraden g und h parallel sind.
c) …die Geraden g und h sich schneiden.