BPE_16_2g

1  Gegenseitige Lage  (30 min) 𝕃

Gegeben sind die drei Geraden:

\(g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix}+t_1\cdot\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\); \(t_1\in \mathbb{R}\)

\(g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix}+t_2\cdot\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\); \(t_2\in \mathbb{R}\)

\(g_3:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix}+t_3\cdot\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\); \(t_3\in \mathbb{R}\)

Bestimme jeweils die gegenseiteige Lage von

1. \(g_1\) und \(g_2\)
2. \(g_1\) und \(g_3\)
3. \(g_2\) und \(g_3\).

Berechne ggf. die Koordinaten des Schnittpunkts.

2  Schnittwinkel  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die Geraden:

\(g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix}+t_1\cdot\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\); \(t_1\in \mathbb{R}\)

\(g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 2\end{pmatrix}+t_2\cdot\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\); \(t_2\in \mathbb{R}\)

1. Ermittle den Schnittwinkel \(\alpha\) der Geraden.
2. Gib Parallelen zu \(g_2\) an, die mit \(g_1\) den gleichen Schnittwinkel \(\alpha\) wie \(g_2\) haben.

3  Rückwärts  (5 min) 𝕃

Gegeben ist die Gerade g durch:

Bestimme jeweils eine Gerade, die ...

1. echt parallel zu g ist.
2. g orthogonal schneidet.
3. windschief zu g ist.

Erläutere deine Überlegungen.

4  Lagebeziehung mit Parameter  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die Geraden:

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-4\\ 0\\ 4\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\ 4\\ 2\end{pmatrix}\)
\(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}a\\ 4\\ 6\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\ 8\\ b\end{pmatrix}\) \( t,s \in R \)

Bestimme die Parameter a und b (\( a,b \in R \)), sodass….
a) …die Geraden g und h identisch sind.
b) …die Geraden g und h parallel sind.
c) …die Geraden g und h sich schneiden.

5  Aussagen beurteilen  (5 min)

Beurteile die Aussagen.
a) Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum Vielfachen voneinander sind, dann sind die Geraden parallel zueinander.
b) Wenn zwei Geraden einen gemeinsamen Punkt haben, dann sind ihre Stützvektoren identisch.
c) Hat die Gleichung \(g=h\) für zwei Geraden g und h im Raum keine Lösung, so sind die beiden Geraden g und h windschief zueinander.
d) Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum keine Vielfachen voneinander sind, dann sind die Geraden zueinander windschief.