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Wiki-Quellcode von Lösung Aus Lage

Zuletzt geändert von boos am 2026/10/08 14:23
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1 Lösung
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3 a) Parallel zur {{formula}}x_2{{/formula}}-Achse
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5 Die {{formula}}x_2{{/formula}}-Achse hat den Richtungsvektor {{formula}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}}. Eine Gerade ist parallel zur {{formula}}x_2{{/formula}}-Achse, wenn ihr Richtungsvektor ein Vielfaches davon ist. Als Stützpunkt wählen wir zum Beispiel den Punkt {{formula}}(1|2|3){{/formula}}. Damit gilt:
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7 {{formula}}g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}}
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9 Auch jede andere Wahl ist richtig, solange der Richtungsvektor die Form {{formula}}\begin{pmatrix} 0 \\ r \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r \neq 0{{/formula}} hat, zum Beispiel {{formula}}\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}}.
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11 b) Parallel zur {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene
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13 Für alle Punkte der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene gilt {{formula}}x_3=0{{/formula}}. Eine Gerade, die parallel zu dieser Ebene verläuft, muss deshalb in {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung konstant bleiben. Das erreicht man, wenn die dritte Koordinate des Richtungsvektors {{formula}}0{{/formula}} ist. Die ersten beiden Koordinaten dürfen beliebig gewählt werden, sie dürfen nur nicht beide {{formula}}0{{/formula}} sein. Wir wählen zum Beispiel den Richtungsvektor {{formula}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und den Stützpunkt {{formula}}(1|2|3){{/formula}}:
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15 {{formula}}g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}}
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17 Hier gilt für jeden Punkt {{formula}}x_3=3{{/formula}}, die Gerade hat also den konstanten Abstand {{formula}}3{{/formula}} zur {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene.
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19 Hinweis: Die Lösungen sind nicht eindeutig. Es gibt unendlich viele richtige Geraden. Wichtig ist nur die Form des Richtungsvektors.