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Lösung Aus Lage

Zuletzt geändert von boos am 2026/10/08 14:23

Lösung

a) Parallel zur \(x_2\)-Achse

Die \(x_2\)-Achse hat den Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Eine Gerade ist parallel zur \(x_2\)-Achse, wenn ihr Richtungsvektor ein Vielfaches davon ist. Als Stützpunkt wählen wir zum Beispiel den Punkt \((1|2|3)\). Damit gilt:

\[g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Auch jede andere Wahl ist richtig, solange der Richtungsvektor die Form \(\begin{pmatrix} 0 \\ r \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(r \neq 0\) hat, zum Beispiel \(\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\).

b) Parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene

Für alle Punkte der \(x_1x_2\)-Ebene gilt \(x_3=0\). Eine Gerade, die parallel zu dieser Ebene verläuft, muss deshalb in \(x_3\)-Richtung konstant bleiben. Das erreicht man, wenn die dritte Koordinate des Richtungsvektors \(0\) ist. Die ersten beiden Koordinaten dürfen beliebig gewählt werden, sie dürfen nur nicht beide \(0\) sein. Wir wählen zum Beispiel den Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und den Stützpunkt \((1|2|3)\):

\[g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Hier gilt für jeden Punkt \(x_3=3\), die Gerade hat also den konstanten Abstand \(3\) zur \(x_1x_2\)-Ebene.

Hinweis: Die Lösungen sind nicht eindeutig. Es gibt unendlich viele richtige Geraden. Wichtig ist nur die Form des Richtungsvektors.