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Wiki-Quellcode von Lösung Getränkedose

Zuletzt geändert von Stefanie Walz am 2026/10/09 14:37
Verstecke letzte Bearbeiter
Stefanie Walz 5.1 1 (% class="abc" %)
Stefanie Walz 1.1 2 == Vorüberlegungen ==
Stefanie Walz 5.1 3
Stefanie Walz 1.1 4 Minimaler Blechverbrauch bedeutet minimale Oberfläche. Die Oberfläche setzt sich aus Deckel, Boden und Mantelfläche zusammen.
Stefanie Walz 5.1 5
Stefanie Walz 1.1 6 === 1. Haupt- und Nebenbedingung ===
Stefanie Walz 5.1 7
Stefanie Walz 1.1 8 Hauptbedingung Oberfläche:
9 {{formula}}O(r,h)=2\pi r^2+2\pi rh{{/formula}}
Stefanie Walz 3.1 10 Dabei gilt: Deckel- und Bodenfläche: {{formula}}2\pi r^2{{/formula}}
Stefanie Walz 1.1 11 Mantelfläche: {{formula}}2\pi rh{{/formula}}
Stefanie Walz 3.1 12 Nebenbedingung Volumen: {{formula}}V(r,h)=\pi r^2h{{/formula}}
Stefanie Walz 1.1 13 Daraus folgt:
14 {{formula}}h=\frac{V}{\pi r^2}{{/formula}}
Stefanie Walz 5.1 15
Stefanie Walz 1.1 16 === 2. Oberfläche als Funktion des Radius ===
Stefanie Walz 5.1 17
Stefanie Walz 1.1 18 Einsetzen der Nebenbedingung in die Oberflächenformel:
19 {{formula}}O(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2}{{/formula}}
Stefanie Walz 3.1 20 Vereinfacht:{{formula}}O(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}{{/formula}}
Stefanie Walz 1.1 21 Die Oberfläche ist damit als Funktion des Radius dargestellt.
22 Gesucht ist die möglichst kleine Oberfläche, also ein Minimum.
Stefanie Walz 5.1 23
Stefanie Walz 1.1 24 === 3. Minimum bestimmen ===
Stefanie Walz 5.1 25
Stefanie Walz 1.1 26 Für ein Minimum muss gelten:
27 {{formula}}O'(r)=0{{/formula}}
28 Aus {{formula}}O(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}{{/formula}} folgt:
29 {{formula}}O'(r)=4\pi r-2Vr^{-2}{{/formula}}
Stefanie Walz 3.1 30 Damit:{{formula}}4\pi r-2Vr^{-2}=0{{/formula}}
31 und schließlich:{{formula}}r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}{{/formula}}
Stefanie Walz 5.1 32
Stefanie Walz 1.1 33 === 4. Zahlenwerte einsetzen ===
Stefanie Walz 5.1 34
Stefanie Walz 1.1 35 Gegeben: {{formula}}V=785\,ml=785\,cm^3{{/formula}}
36 Hinweis zur Umrechnung: {{formula}}1\,ml=1\,cm^3{{/formula}} und {{formula}}1\,l=1\,dm^3{{/formula}}
37 Einsetzen ergibt:
38 {{formula}}r=\sqrt[3]{\frac{785\,cm^3}{2\pi}}\approx 5\,cm{{/formula}}
39 Der Durchmesser beträgt damit:
40 {{formula}}d=2r=10\,cm{{/formula}}
Stefanie Walz 5.1 41
Stefanie Walz 1.1 42 === 5. Höhe berechnen ===
Stefanie Walz 5.1 43
Stefanie Walz 1.1 44 Mit {{formula}}h=\frac{V}{\pi r^2}{{/formula}} ergibt sich:
Stefanie Walz 9.1 45 {{formula}}h=\frac{785\,cm^3}{\pi\cdot(5\,cm)^2}\approx 10\,cm = 471,72 \,cm^2{{/formula}}
Stefanie Walz 5.1 46
Stefanie Walz 1.1 47 == Ergebnis ==
Stefanie Walz 5.1 48
Stefanie Walz 8.1 49 Die minimale Oberfläche ergibt sich bei einem Durchmesser von {{formula}}d=10\,cm{{/formula}} und einer Höhe von {{formula}}h=10\,cm{{/formula}}.
Stefanie Walz 10.1 50 Die Oberfläche beträgt {{formula}}O(5\,cm,10\,cm)=2\pi (5\,cm)^2+2\pi \cdot 5\,cm \cdot 10 \,cm = 471,3\,cm^2 {{/formula}}