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Wiki-Quellcode von Lösung Getränkedose

Version 7.1 von Stefanie Walz am 2026/10/09 14:33
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1 (% class="abc" %)
2 == Vorüberlegungen ==
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4 Minimaler Blechverbrauch bedeutet minimale Oberfläche. Die Oberfläche setzt sich aus Deckel, Boden und Mantelfläche zusammen.
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6 === 1. Haupt- und Nebenbedingung ===
7
8 Hauptbedingung Oberfläche:
9 {{formula}}O(r,h)=2\pi r^2+2\pi rh{{/formula}}
10 Dabei gilt: Deckel- und Bodenfläche: {{formula}}2\pi r^2{{/formula}}
11 Mantelfläche: {{formula}}2\pi rh{{/formula}}
12 Nebenbedingung Volumen: {{formula}}V(r,h)=\pi r^2h{{/formula}}
13 Daraus folgt:
14 {{formula}}h=\frac{V}{\pi r^2}{{/formula}}
15
16 === 2. Oberfläche als Funktion des Radius ===
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18 Einsetzen der Nebenbedingung in die Oberflächenformel:
19 {{formula}}O(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2}{{/formula}}
20 Vereinfacht:{{formula}}O(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}{{/formula}}
21 Die Oberfläche ist damit als Funktion des Radius dargestellt.
22 Gesucht ist die möglichst kleine Oberfläche, also ein Minimum.
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24 === 3. Minimum bestimmen ===
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26 Für ein Minimum muss gelten:
27 {{formula}}O'(r)=0{{/formula}}
28 Aus {{formula}}O(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}{{/formula}} folgt:
29 {{formula}}O'(r)=4\pi r-2Vr^{-2}{{/formula}}
30 Damit:{{formula}}4\pi r-2Vr^{-2}=0{{/formula}}
31 und schließlich:{{formula}}r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}{{/formula}}
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33 === 4. Zahlenwerte einsetzen ===
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35 Gegeben: {{formula}}V=785\,ml=785\,cm^3{{/formula}}
36 Hinweis zur Umrechnung: {{formula}}1\,ml=1\,cm^3{{/formula}} und {{formula}}1\,l=1\,dm^3{{/formula}}
37 Einsetzen ergibt:
38 {{formula}}r=\sqrt[3]{\frac{785\,cm^3}{2\pi}}\approx 5\,cm{{/formula}}
39 Der Durchmesser beträgt damit:
40 {{formula}}d=2r=10\,cm{{/formula}}
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42 === 5. Höhe berechnen ===
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44 Mit {{formula}}h=\frac{V}{\pi r^2}{{/formula}} ergibt sich:
45 {{formula}}h=\frac{785\,cm^3}{\pi\cdot(5\,cm)^2}\approx 10\,cm = 471,72 \cm^2{{/formula}}
46
47 == Ergebnis ==
48
49 Die minimale Oberfläche ergibt sich bei einem Durchmesser von {{formula}}d=10\,cm{{/formula}} und einer Höhe von {{formula}}h=10\,cm{{/formula}}. Die Oberfläche beträgt
50 {{formula}}O(5\cm,10\cm)=2\pi (5\,cm)^2+2\pi 5\,cm \cdot 10 \,cm = 471,3\,cm^2 {{/formula}}