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Wiki-Quellcode von Lösung Getränkedose

Version 3.1 von Stefanie Walz am 2026/10/09 14:23
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1 (%class=abc%)
2 == Vorüberlegungen ==
3 Minimaler Blechverbrauch bedeutet minimale Oberfläche. Die Oberfläche setzt sich aus Deckel, Boden und Mantelfläche zusammen.
4 === 1. Haupt- und Nebenbedingung ===
5 Hauptbedingung Oberfläche:
6 {{formula}}O(r,h)=2\pi r^2+2\pi rh{{/formula}}
7 Dabei gilt: Deckel- und Bodenfläche: {{formula}}2\pi r^2{{/formula}}
8 Mantelfläche: {{formula}}2\pi rh{{/formula}}
9 Nebenbedingung Volumen: {{formula}}V(r,h)=\pi r^2h{{/formula}}
10 Daraus folgt:
11 {{formula}}h=\frac{V}{\pi r^2}{{/formula}}
12 === 2. Oberfläche als Funktion des Radius ===
13 Einsetzen der Nebenbedingung in die Oberflächenformel:
14 {{formula}}O(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2}{{/formula}}
15 Vereinfacht:{{formula}}O(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}{{/formula}}
16 Die Oberfläche ist damit als Funktion des Radius dargestellt.
17 Gesucht ist die möglichst kleine Oberfläche, also ein Minimum.
18 === 3. Minimum bestimmen ===
19 Für ein Minimum muss gelten:
20 {{formula}}O'(r)=0{{/formula}}
21 Aus {{formula}}O(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}{{/formula}} folgt:
22 {{formula}}O'(r)=4\pi r-2Vr^{-2}{{/formula}}
23 Damit:{{formula}}4\pi r-2Vr^{-2}=0{{/formula}}
24 und schließlich:{{formula}}r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}{{/formula}}
25 === 4. Zahlenwerte einsetzen ===
26 Gegeben: {{formula}}V=785\,ml=785\,cm^3{{/formula}}
27 Hinweis zur Umrechnung: {{formula}}1\,ml=1\,cm^3{{/formula}} und {{formula}}1\,l=1\,dm^3{{/formula}}
28 Einsetzen ergibt:
29 {{formula}}r=\sqrt[3]{\frac{785\,cm^3}{2\pi}}\approx 5\,cm{{/formula}}
30 Der Durchmesser beträgt damit:
31 {{formula}}d=2r=10\,cm{{/formula}}
32 === 5. Höhe berechnen ===
33 Mit {{formula}}h=\frac{V}{\pi r^2}{{/formula}} ergibt sich:
34 {{formula}}h=\frac{785\,cm^3}{\pi\cdot(5\,cm)^2}\approx 10\,cm{{/formula}}
35 == Ergebnis ==
36 Die minimale Oberfläche ergibt sich bei einem Durchmesser von {{formula}}d=10\,cm{{/formula}} und einer Höhe von {{formula}}h=10\,cm{{/formula}}.