Wiki-Quellcode von Lösung Getränkedose
Version 1.1 von Stefanie Walz am 2026/10/09 13:08
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | {{loesung}} | ||
| 2 | = Lösung: Getränkedose = | ||
| 3 | == Vorüberlegungen == | ||
| 4 | Minimaler Blechverbrauch bedeutet minimale Oberfläche. Die Oberfläche setzt sich aus Deckel, Boden und Mantelfläche zusammen. | ||
| 5 | === 1. Haupt- und Nebenbedingung === | ||
| 6 | Hauptbedingung Oberfläche: | ||
| 7 | {{formula}}O(r,h)=2\pi r^2+2\pi rh{{/formula}} | ||
| 8 | Dabei gilt: | ||
| 9 | Deckel- und Bodenfläche: {{formula}}2\pi r^2{{/formula}} | ||
| 10 | Mantelfläche: {{formula}}2\pi rh{{/formula}} | ||
| 11 | Nebenbedingung Volumen: | ||
| 12 | {{formula}}V(r,h)=\pi r^2h{{/formula}} | ||
| 13 | Daraus folgt: | ||
| 14 | {{formula}}h=\frac{V}{\pi r^2}{{/formula}} | ||
| 15 | === 2. Oberfläche als Funktion des Radius === | ||
| 16 | Einsetzen der Nebenbedingung in die Oberflächenformel: | ||
| 17 | {{formula}}O(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2}{{/formula}} | ||
| 18 | Vereinfacht: | ||
| 19 | {{formula}}O(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}{{/formula}} | ||
| 20 | Die Oberfläche ist damit als Funktion des Radius dargestellt. | ||
| 21 | Gesucht ist die möglichst kleine Oberfläche, also ein Minimum. | ||
| 22 | === 3. Minimum bestimmen === | ||
| 23 | Für ein Minimum muss gelten: | ||
| 24 | {{formula}}O'(r)=0{{/formula}} | ||
| 25 | Aus {{formula}}O(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}{{/formula}} folgt: | ||
| 26 | {{formula}}O'(r)=4\pi r-2Vr^{-2}{{/formula}} | ||
| 27 | Damit: | ||
| 28 | {{formula}}4\pi r-2Vr^{-2}=0{{/formula}} | ||
| 29 | und schließlich: | ||
| 30 | {{formula}}r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}{{/formula}} | ||
| 31 | === 4. Zahlenwerte einsetzen === | ||
| 32 | Gegeben: {{formula}}V=785\,ml=785\,cm^3{{/formula}} | ||
| 33 | Hinweis zur Umrechnung: {{formula}}1\,ml=1\,cm^3{{/formula}} und {{formula}}1\,l=1\,dm^3{{/formula}} | ||
| 34 | Einsetzen ergibt: | ||
| 35 | {{formula}}r=\sqrt[3]{\frac{785\,cm^3}{2\pi}}\approx 5\,cm{{/formula}} | ||
| 36 | Der Durchmesser beträgt damit: | ||
| 37 | {{formula}}d=2r=10\,cm{{/formula}} | ||
| 38 | === 5. Höhe berechnen === | ||
| 39 | Mit {{formula}}h=\frac{V}{\pi r^2}{{/formula}} ergibt sich: | ||
| 40 | {{formula}}h=\frac{785\,cm^3}{\pi\cdot(5\,cm)^2}\approx 10\,cm{{/formula}} | ||
| 41 | == Ergebnis == | ||
| 42 | Die minimale Oberfläche ergibt sich bei einem Durchmesser von {{formula}}d=10\,cm{{/formula}} und einer Höhe von {{formula}}h=10\,cm{{/formula}}. | ||
| 43 | {{/loesung}} |