Lösung Getränkedose

Vorüberlegungen

Minimaler Blechverbrauch bedeutet minimale Oberfläche. Die Oberfläche setzt sich aus Deckel, Boden und Mantelfläche zusammen.

1. Haupt- und Nebenbedingung

Hauptbedingung Oberfläche:
\(O(r,h)=2\pi r^2+2\pi rh\)
Dabei gilt: Deckel- und Bodenfläche: \(2\pi r^2\)
Mantelfläche: \(2\pi rh\)
Nebenbedingung Volumen: \(V(r,h)=\pi r^2h\)
Daraus folgt:
\(h=\frac{V}{\pi r^2}\)

2. Oberfläche als Funktion des Radius

Einsetzen der Nebenbedingung in die Oberflächenformel:
\(O(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2}\)
Vereinfacht:\(O(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}\)
Die Oberfläche ist damit als Funktion des Radius dargestellt.
Gesucht ist die möglichst kleine Oberfläche, also ein Minimum.

3. Minimum bestimmen

Für ein Minimum muss gelten:
\(O'(r)=0\)
Aus \(O(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}\) folgt:
\(O'(r)=4\pi r-2Vr^{-2}\)
Damit:\(4\pi r-2Vr^{-2}=0\)
und schließlich:\(r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\)

4. Zahlenwerte einsetzen

Gegeben: \(V=785\,ml=785\,cm^3\)
Hinweis zur Umrechnung: \(1\,ml=1\,cm^3\) und \(1\,l=1\,dm^3\)
Einsetzen ergibt:
\(r=\sqrt[3]{\frac{785\,cm^3}{2\pi}}\approx 5\,cm\)
Der Durchmesser beträgt damit:
\(d=2r=10\,cm\)

5. Höhe berechnen

Mit \(h=\frac{V}{\pi r^2}\) ergibt sich:
\(h=\frac{785\,cm^3}{\pi\cdot(5\,cm)^2}\approx 10\,cm = 471,72 \cm^2\)

Ergebnis

Die minimale Oberfläche ergibt sich bei einem Durchmesser von \(d=10\,cm\) und einer Höhe von \(h=10\,cm\). Die Oberfläche beträgt
\(O(5\cm,10\cm)=2\pi (5\cm)^2+2\pi 5\cm \cdot 10 \cm = \)