Änderungen von Dokument BPE 13.3 Flächeninhalte, Anwendung
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am 2026/10/19 16:55
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am 2023/10/24 15:58
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Zusammenfassung
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Details
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- Dokument-Autor
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... ... @@ -1,1 +1,1 @@ 1 -xwiki:XWiki.de borakemm1 +xwiki:XWiki.niklaswunder - Inhalt
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... ... @@ -6,120 +6,18 @@ 6 6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von Körpern auch im Anwendungskontext berechnen {{niveau}}e{{/niveau}} 7 7 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K1]] Ich kann elementargeometrische Volumenformeln nachweisen {{niveau}}e{{/niveau}} 8 8 9 -== Flächen == 9 +{{aufgabe id="Fläche zwischen Tiefpunkten" afb="2" kompetenzen="K5,K4" quelle="Abitur Hauptprüfung 2012/2013 Teil 1 Aufgabe 1" cc="" niveau="" zeit=""}} 10 +Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=2+2sin(\frac{\pi}{2}x); x\in\mathbb{R}{{/formula}}. Das Schaubild von //f// ist //K//. 10 10 11 -{{aufgabe id="Fläche zwischen Tiefpunkten" afb="II" kompetenzen="K5,K4" quelle="Abitur Hauptprüfung 2012/2013 Teil 1 Aufgabe 1" zeit="10"}} 12 -Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=2+2\sin(\frac{\pi}{2}x); x\in\mathbb{R}{{/formula}}. Das Schaubild von //f// ist //K//. 13 - 14 14 Zwischen zwei benachbarten Tiefpunkten von //K// schließen //K// und die x-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. 15 15 {{/aufgabe}} 16 16 17 -{{aufgabe id="Flächeninhalt graphisch bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Mohammed Abuhammad, Dirk Tebbe" cc="" niveau="" zeit="7"}} 18 -Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=2 \sin(\frac{\pi}{4}x)+2; x\in\mathbb{R}{{/formula}}. Das Schaubild von //f// ist //K//. 19 - 20 -Bestimme //u// so, dass gilt:{{formula}}\int_{4}^{u} f(x)\, dx = 24{{/formula}}. 21 -{{/aufgabe}} 22 - 23 -{{aufgabe id="Fläche halbieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="8"}} 24 -Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = e^{-x}{{/formula}} 25 - 26 -Der Graph von //f// schließt im Intervall {{formula}}[0, \ln(3)]{{/formula}} zusammen mit der x-Achse und den Geraden {{formula}}x = 0{{/formula}} und {{formula}}x = \ln(3){{/formula}} eine geschlossene Fläche ein. 27 - 28 -Gesucht ist die Geradengleichung {{formula}}x = u{{/formula}} (mit {{formula}}0 < u < \ln(3){{/formula}}), welche diese Fläche in zwei inhaltsgleiche Hälften teilt. 29 -{{/aufgabe}} 30 - 31 -{{aufgabe id="Fläche, Quadrat" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_9.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}} 32 -Gegeben ist die in {{formula}} \mathbb{R} {{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f:x\mapsto-x^2+2ax{{/formula}} mit {{formula}}a\in\left]1;+\infty\right[{{/formula}}. Die Nullstellen von {{formula}} f{{/formula}} sind {{formula}}0{{/formula}} und {{formula}}2a{{/formula}}. 33 - 34 -1. Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von {{formula}}f{{/formula}} mit der x-Achse einschließt, den Inhalt {{formula}} \frac{4}{3}a^3 {{/formula}} hat. 35 -1. Der Hochpunkt des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von {{formula}}f{{/formula}} mit der x-Achse einschließt, überein. Bestimme den Wert von {{formula}}a{{/formula}}. 36 -[[image:Graph-x^2 2ax.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] 37 -{{/aufgabe}} 38 - 39 - 40 -{{aufgabe id="Grenzen bestimmen" afb="III" kompetenzen="K2, K3" quelle="Debora Kemm" zeit="15"}} 41 -Vor eurer Schule wird ein Blumenbeet geplant. Die dafür verfügbare Fläche kann annähernd durch die Fläche beschrieben werden, die der Graph der Funktion f mit {{formula}} f(x)=6-\frac{2}{3}x^2{{/formula}} der x-Achse einschließt. 42 -Eine Längeneinheit entspricht dabei einem Meter. 43 -Die vorhandenen Pflanzen reichen allerdings nur für {{formula}} 12\,\mathrm{m}^2{{/formula}}. Deshalb soll innerhalb des ursprünglich geplanten Beetes eine kleinere Fläche ausgewählt werden. Links und rechts wird sie jeweils durch eine senkrechte Gerade begrenzt. 44 -Bestimme zwei passende Begrenzungen, sodass das verkleinerte Beet genau die gewünschte Fläche hat. Untersuche, ob es auch andere mögliche Begrenzungen gibt. 45 - 46 -{{/aufgabe}} 47 - 48 - 49 - 50 - 51 -{{aufgabe id="Funktionsschar" afb="" kompetenzen="K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>hhttps://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_4.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}} 52 -Gegeben ist die Schar der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}f_a{{/formula}} mit {{formula}}f_a\left(x\right)=ax^3+ax^2{{/formula}} und {{formula}}a\in\mathbb{R}^+{{/formula}}. 53 - 54 -1. Gib den Wert von {{formula}}a{{/formula}} an, so dass der Punkt {{formula}}\left(1\middle|6\right){{/formula}} auf dem Graphen von {{formula}}f_a{{/formula}} liegt. 55 -1. Berechne in Abhängigkeit von {{formula}}a{{/formula}} den Inhalt der Fläche, die der Graph von {{formula}}f_a{{/formula}} mit der //x//-Achse einschließt. 56 - 57 -__Hinweis__: 58 -Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig. 59 - 60 -**Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel**: 61 -Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=ax^3+ax^2{{/formula}}, wobei {{formula}}a\in\mathbb{R}^+{{/formula}} eine feste Zahl ist. 62 - 63 -1. Der Punkt {{formula}}\left(1\middle|6\right){{/formula}} liegt auf dem Graphen von {{formula}}f{{/formula}}. Gib den Wert von {{formula}}a{{/formula}} an. 64 -1. Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von {{formula}}f{{/formula}} mit der //x//-Achse einschließt. 65 - 66 -{{/aufgabe}} 67 - 68 -{{aufgabe id="Symmetrie und Flächeninhalt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_1.pdf]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}} 69 -Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=x^3-4x{{/formula}}. 70 - 71 -1. Begründe, dass der Graph von {{formula}}f{{/formula}} symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. 72 -1. Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} und die x-Achse schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht. Berechne den Inhalt dieser Fläche. 73 -{{/aufgabe}} 74 - 75 -{{aufgabe id="Gezeitenkraftwerk" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="Thomas Hermann" zeit="20min"}} 76 -Im Gezeitenkraftwerk Sihwa-ho in Südkorea kann der Durchfluss durch den Damm durch die folgende Sinus Funktion modelliert werden: 77 -[[image:Sinusfkt.png||width="600" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] 78 - 79 -(%class=abc%) 80 -1. Bestimme eine grobe Abschätzung für das Volumen des Speichersees. 81 -1. Bestimme einen Funktionsterm für die Durchflussrate. 82 -1. Berechne das minimal benötigte Volumen des Speichersees. 83 -{{/aufgabe}} 84 - 85 -== Volumen == 86 - 87 -{{aufgabe id="Geometrische Körper" afb="I" kompetenzen="K5, K6" quelle="Martina Wagner" niveau="e" zeit="3"}} 88 -Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=5 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. 89 -Gib an, ob sich bei dem Drehkörper um einen geometrischen Körper handelt. 90 - 91 -(%class=abc%) 92 -1. {{formula}}f(x)=5{{/formula}} 93 -1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}} 94 -1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}x+1{{/formula}} 95 -1. {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}} 96 -{{/aufgabe}} 97 - 98 -{{aufgabe id="Volumenberechnung 1" afb="I" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" niveau="e" zeit="5"}} 99 -Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=2 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers. 100 - 101 -(%class=abc%) 102 -1. {{formula}}f(x)=\sqrt{8x+1}{{/formula}} 103 -1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}} 104 -{{/aufgabe}} 105 - 106 -{{aufgabe id="Volumenberechnung 2" afb="II" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" niveau="e" zeit="10"}} 107 -Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen im Intervall {{formula}} [0;4]{{/formula}} jewils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne jeweils das Volumen. 108 - 109 -(%class=abc%) 110 -1. {{formula}}f(x)=x+9{{/formula}} 111 -1. {{formula}}f(x)=x^2+7x{{/formula}} 112 -1. {{formula}}f(x)=e^{2x}-1{{/formula}} 113 -{{/aufgabe}} 114 - 115 -{{aufgabe id="Gabriels Horn" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Niklas Wunder" niveau="e" zeit="15"}} 116 -**Volumen- und Mantelflächeninhalte - Gabriels Horn - Torricellis Trompete ** 15 +{{aufgabe id="Horn von Torecelli" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" niveau="e" zeit="15"}} 16 +**Volumen- und Mantelflächeninhalte** 117 117 Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} mit der Defintionsmenge {{formula}} D=[1;\infty[{{/formula}}. 118 - 119 -[[image:GabrielHorn.png]] 120 120 a) Berechne den Rauminhalt des Drehkörpers, der entsteht, wenn man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall {{formula}} I=[1;\infty[{{/formula}} um die x-Achse rotiert. 121 -b) Zeige,dass dieMantelfläche M(Oberfläche des Rotationskörpers)desRotationskörpersunendlich ist. Hinweis: Schätzedie Mantelflächedazugegen eine Flächeab, die kleinerist alsdieMantelfläche,aber immer nocheinenunendlichenWertesitzt.Hierzubietet sichdie harmonischeReihe an fürdie gilt{formula}}1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\infty{{/formula}}.122 - c) Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers lässt sich exakt durch {{formula}} M(x)= 2\, \pi\cdot \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} dx{{/formula}} berechnen Begründe wie man mit der Mantelformel die Behauptung aus der b) bestätigen kann. Hinweis: Da sich das Integral mit schulischen Mitteln nicht lösen lässt verwende die Abschätzung {{formula}}\sqrt{1+f'(x)^2} \geq 1 {{/formula}} für alle {{formula}} x \in \mathbb{R} {{/formula}}.19 +b) Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers lässt sich durch {{formula}} M(x)= 2\cdot \pi \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} dx{{/formula}} 20 + 123 123 {{/aufgabe}} 124 124 125 -{{seitenreflexion/}} 23 +{{seitenreflexion kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}
- GabrielHorn.png
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... ... @@ -1,1 +1,0 @@ 1 -XWiki.niklaswunder - Größe
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... ... @@ -1,1 +1,0 @@ 1 -94.1 KB - Inhalt
- Graph-x^2 2ax.PNG
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- Author
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... ... @@ -1,1 +1,0 @@ 1 -XWiki.akukin - Größe
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- Sinusfkt.png
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- Author
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