Zum Inhalt springen

Änderungen von Dokument BPE 13.3 Flächeninhalte, Anwendung

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/10/12 12:00
Von Version 67.2
bearbeitet von Holger Engels
am 2026/10/09 08:06
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 64.3
bearbeitet von Anna Kukin
am 2026/08/03 19:48
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -xwiki:XWiki.holgerengels
1 +xwiki:XWiki.akukin
Inhalt
... ... @@ -6,7 +6,7 @@
6 6  [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von Körpern auch im Anwendungskontext berechnen {{niveau}}e{{/niveau}}
7 7  [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K1]] Ich kann elementargeometrische Volumenformeln nachweisen {{niveau}}e{{/niveau}}
8 8  
9 -== Flächen ==
9 +
10 10  {{aufgabe id="Fläche zwischen Tiefpunkten" afb="II" kompetenzen="K5,K4" quelle="Abitur Hauptprüfung 2012/2013 Teil 1 Aufgabe 1" zeit="10"}}
11 11  Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=2+2\sin(\frac{\pi}{2}x); x\in\mathbb{R}{{/formula}}. Das Schaubild von //f// ist //K//.
12 12  
... ... @@ -14,21 +14,53 @@
14 14  {{/aufgabe}}
15 15  
16 16  {{aufgabe id="Flächeninhalt graphisch bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Mohammed Abuhammad, Dirk Tebbe" cc="" niveau="" zeit="7"}}
17 -Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=2 \sin(\frac{\pi}{4}x)+2; x\in\mathbb{R}{{/formula}}. Das Schaubild von //f// ist //K//.
17 +Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=2 \sin(\frac{\pi}{4}x); x\in\mathbb{R}{{/formula}}. Das Schaubild von //f// ist //K//.
18 18  
19 19  Bestimmen Sie u so, dass {{formula}}
20 -\int_{4}^{u} f(x)\, dx = 24
20 +\int_{4}^{u} f(x)\, dx = 64
21 21  {{/formula}}.
22 22  {{/aufgabe}}
23 23  
24 -{{aufgabe id="Fläche halbieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="8"}}
25 -Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = e^{-x}{{/formula}}
24 +{{aufgabe id="Geometrische Körper" afb="I" kompetenzen="K5, K6" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="" zeit="3"}}
25 +Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=5 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper.
26 +Gib an, ob sich bei dem Drehkörper um einen geometrischen Körper handelt.
26 26  
27 -Der Graph von //f// schließt im Intervall {{formula}}[0, \ln(3)]{{/formula}} zusammen mit der x-Achse und den Geraden {{formula}}x = 0{{/formula}} und {{formula}}x = \ln(3){{/formula}} eine geschlossene Fläche ein.
28 +(%class=abc%)
29 +1. {{formula}}f(x)=5{{/formula}}
30 +1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}
31 +1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}x+1{{/formula}}
32 +1. {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}
33 +{{/aufgabe}}
28 28  
29 -Gesucht ist die Geradengleichung {{formula}}x = u{{/formula}} (mit {{formula}}0 < u < \ln(3){{/formula}}), welche diese Fläche in zwei inhaltsgleiche Hälften teilt.
35 +{{aufgabe id="Volumenberechnung 1" afb="I" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="" zeit="5"}}
36 +Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=2 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.
37 +
38 +(%class=abc%)
39 +1. {{formula}}f(x)=\sqrt{8x+1}{{/formula}}
40 +1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}
30 30  {{/aufgabe}}
31 31  
43 +{{aufgabe id="Volumenberechnung 2" afb="II" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="2" zeit="10"}}
44 +Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen im Intervall {{formula}} [0;4]{{/formula}} jewils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne jeweils das Volumen.
45 +
46 +(%class=abc%)
47 +1. {{formula}}f(x)=x+9{{/formula}}
48 +1. {{formula}}f(x)=x^2+7x{{/formula}}
49 +1. {{formula}}f(x)=e^{2x}-1{{/formula}}
50 +{{/aufgabe}}
51 +
52 +{{aufgabe id="Gabriels Horn" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" niveau="e" zeit="15"}}
53 +**Volumen- und Mantelflächeninhalte - Gabriels Horn - Torricellis Trompete **
54 +Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} mit der Defintionsmenge {{formula}} D=[1;\infty[{{/formula}}.
55 +
56 +[[image:GabrielHorn.png]]
57 +a) Berechne den Rauminhalt des Drehkörpers, der entsteht, wenn man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall {{formula}} I=[1;\infty[{{/formula}} um die x-Achse rotiert.
58 +b) Zeige, dass die Mantelfläche M (Oberfläche des Rotationskörpers) des Rotationskörpers unendlich ist. Hinweis: Schätze die Mantelfläche dazu gegen eine Fläche ab, die kleiner ist als die Mantelfläche, aber immer noch einen unendlichen Wert besitzt. Hierzu bietet sich die harmonische Reihe an für die gilt {{formula}} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\infty{{/formula}}.
59 +c) Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers lässt sich exakt durch {{formula}} M(x)= 2\, \pi\cdot \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} dx{{/formula}} berechnen Begründe wie man mit der Mantelformel die Behauptung aus der b) bestätigen kann. Hinweis: Da sich das Integral mit schulischen Mitteln nicht lösen lässt verwende die Abschätzung {{formula}}\sqrt{1+f'(x)^2} \geq 1 {{/formula}} für alle {{formula}} x \in \mathbb{R} {{/formula}}.
60 +
61 +{{/aufgabe}}
62 +
63 +
32 32  {{aufgabe id="Fläche, Quadrat" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_9.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
33 33  Gegeben ist die in {{formula}} \mathbb{R} {{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f:x\mapsto-x^2+2ax{{/formula}} mit {{formula}}a\in\left]1;+\infty\right[{{/formula}}. Die Nullstellen von {{formula}} f{{/formula}} sind {{formula}}0{{/formula}} und {{formula}}2a{{/formula}}.
34 34  
... ... @@ -43,6 +43,7 @@
43 43  1. Gib den Wert von {{formula}}a{{/formula}} an, so dass der Punkt {{formula}}\left(1\middle|6\right){{/formula}} auf dem Graphen von {{formula}}f_a{{/formula}} liegt.
44 44  1. Berechne in Abhängigkeit von {{formula}}a{{/formula}} den Inhalt der Fläche, die der Graph von {{formula}}f_a{{/formula}} mit der //x//-Achse einschließt.
45 45  
78 +
46 46  __Hinweis__:
47 47  Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.
48 48  
... ... @@ -76,44 +76,4 @@
76 76  1. Berechne das minimal benötigte Volumen des Speichersees.
77 77  {{/aufgabe}}
78 78  
79 -== Volumen ==
80 -{{aufgabe id="Geometrische Körper" afb="I" kompetenzen="K5, K6" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="" zeit="3"}}
81 -Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=5 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper.
82 -Gib an, ob sich bei dem Drehkörper um einen geometrischen Körper handelt.
83 -
84 -(%class=abc%)
85 -1. {{formula}}f(x)=5{{/formula}}
86 -1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}
87 -1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}x+1{{/formula}}
88 -1. {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}
89 -{{/aufgabe}}
90 -
91 -{{aufgabe id="Volumenberechnung 1" afb="I" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="" zeit="5"}}
92 -Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=2 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.
93 -
94 -(%class=abc%)
95 -1. {{formula}}f(x)=\sqrt{8x+1}{{/formula}}
96 -1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}
97 -{{/aufgabe}}
98 -
99 -{{aufgabe id="Volumenberechnung 2" afb="II" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="2" zeit="10"}}
100 -Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen im Intervall {{formula}} [0;4]{{/formula}} jewils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne jeweils das Volumen.
101 -
102 -(%class=abc%)
103 -1. {{formula}}f(x)=x+9{{/formula}}
104 -1. {{formula}}f(x)=x^2+7x{{/formula}}
105 -1. {{formula}}f(x)=e^{2x}-1{{/formula}}
106 -{{/aufgabe}}
107 -
108 -{{aufgabe id="Gabriels Horn" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" niveau="e" zeit="15"}}
109 -**Volumen- und Mantelflächeninhalte - Gabriels Horn - Torricellis Trompete **
110 -Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} mit der Defintionsmenge {{formula}} D=[1;\infty[{{/formula}}.
111 -
112 -[[image:GabrielHorn.png]]
113 -a) Berechne den Rauminhalt des Drehkörpers, der entsteht, wenn man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall {{formula}} I=[1;\infty[{{/formula}} um die x-Achse rotiert.
114 -b) Zeige, dass die Mantelfläche M (Oberfläche des Rotationskörpers) des Rotationskörpers unendlich ist. Hinweis: Schätze die Mantelfläche dazu gegen eine Fläche ab, die kleiner ist als die Mantelfläche, aber immer noch einen unendlichen Wert besitzt. Hierzu bietet sich die harmonische Reihe an für die gilt {{formula}} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\infty{{/formula}}.
115 -c) Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers lässt sich exakt durch {{formula}} M(x)= 2\, \pi\cdot \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} dx{{/formula}} berechnen Begründe wie man mit der Mantelformel die Behauptung aus der b) bestätigen kann. Hinweis: Da sich das Integral mit schulischen Mitteln nicht lösen lässt verwende die Abschätzung {{formula}}\sqrt{1+f'(x)^2} \geq 1 {{/formula}} für alle {{formula}} x \in \mathbb{R} {{/formula}}.
116 -{{/aufgabe}}
117 -
118 -
119 119  {{seitenreflexion/}}