Änderungen von Dokument BPE 13.3 Flächeninhalte, Anwendung

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -29,47 +29,6 @@
29	29	Gesucht ist die Geradengleichung {{formula}}x = u{{/formula}} (mit {{formula}}0 < u < \ln(3){{/formula}}), welche diese Fläche in zwei flächengleiche Hälften teilt.
30	30	{{/aufgabe}}
31	31
32		-== Volumen ==
33		-{{aufgabe id="Geometrische Körper" afb="I" kompetenzen="K5, K6" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="" zeit="3"}}
34		-Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=5 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper.
35		-Gib an, ob sich bei dem Drehkörper um einen geometrischen Körper handelt.
36		-
37		-(%class=abc%)
38		-1. {{formula}}f(x)=5{{/formula}}
39		-1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}
40		-1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}x+1{{/formula}}
41		-1. {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}
42		-{{/aufgabe}}
43		-
44		-{{aufgabe id="Volumenberechnung 1" afb="I" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="" zeit="5"}}
45		-Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=2 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.
46		-
47		-(%class=abc%)
48		-1. {{formula}}f(x)=\sqrt{8x+1}{{/formula}}
49		-1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}
50		-{{/aufgabe}}
51		-
52		-{{aufgabe id="Volumenberechnung 2" afb="II" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="2" zeit="10"}}
53		-Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen im Intervall {{formula}} [0;4]{{/formula}} jewils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne jeweils das Volumen.
54		-
55		-(%class=abc%)
56		-1. {{formula}}f(x)=x+9{{/formula}}
57		-1. {{formula}}f(x)=x^2+7x{{/formula}}
58		-1. {{formula}}f(x)=e^{2x}-1{{/formula}}
59		-{{/aufgabe}}
60		-
61		-{{aufgabe id="Gabriels Horn" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" niveau="e" zeit="15"}}
62		-**Volumen- und Mantelflächeninhalte - Gabriels Horn - Torricellis Trompete **
63		-Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} mit der Defintionsmenge {{formula}} D=[1;\infty[{{/formula}}.
64		-
65		-[[image:GabrielHorn.png]]
66		-a) Berechne den Rauminhalt des Drehkörpers, der entsteht, wenn man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall {{formula}} I=[1;\infty[{{/formula}} um die x-Achse rotiert.
67		-b) Zeige, dass die Mantelfläche M (Oberfläche des Rotationskörpers) des Rotationskörpers unendlich ist. Hinweis: Schätze die Mantelfläche dazu gegen eine Fläche ab, die kleiner ist als die Mantelfläche, aber immer noch einen unendlichen Wert besitzt. Hierzu bietet sich die harmonische Reihe an für die gilt {{formula}} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\infty{{/formula}}.
68		-c) Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers lässt sich exakt durch {{formula}} M(x)= 2\, \pi\cdot \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} dx{{/formula}} berechnen Begründe wie man mit der Mantelformel die Behauptung aus der b) bestätigen kann. Hinweis: Da sich das Integral mit schulischen Mitteln nicht lösen lässt verwende die Abschätzung {{formula}}\sqrt{1+f'(x)^2} \geq 1 {{/formula}} für alle {{formula}} x \in \mathbb{R} {{/formula}}.
69		-
70		-{{/aufgabe}}
71		-
72		-
73	73	{{aufgabe id="Fläche, Quadrat" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_9.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
74	74	Gegeben ist die in {{formula}} \mathbb{R} {{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f:x\mapsto-x^2+2ax{{/formula}} mit {{formula}}a\in\left]1;+\infty\right[{{/formula}}. Die Nullstellen von {{formula}} f{{/formula}} sind {{formula}}0{{/formula}} und {{formula}}2a{{/formula}}.
75	75
...	...	@@ -117,4 +117,44 @@
117	117	1. Berechne das minimal benötigte Volumen des Speichersees.
118	118	{{/aufgabe}}
119	119
	79	+== Volumen ==
	80	+{{aufgabe id="Geometrische Körper" afb="I" kompetenzen="K5, K6" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="" zeit="3"}}
	81	+Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=5 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper.
	82	+Gib an, ob sich bei dem Drehkörper um einen geometrischen Körper handelt.
	83	+
	84	+(%class=abc%)
	85	+1. {{formula}}f(x)=5{{/formula}}
	86	+1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}
	87	+1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}x+1{{/formula}}
	88	+1. {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}
	89	+{{/aufgabe}}
	90	+
	91	+{{aufgabe id="Volumenberechnung 1" afb="I" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="" zeit="5"}}
	92	+Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=2 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.
	93	+
	94	+(%class=abc%)
	95	+1. {{formula}}f(x)=\sqrt{8x+1}{{/formula}}
	96	+1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}
	97	+{{/aufgabe}}
	98	+
	99	+{{aufgabe id="Volumenberechnung 2" afb="II" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="2" zeit="10"}}
	100	+Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen im Intervall {{formula}} [0;4]{{/formula}} jewils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne jeweils das Volumen.
	101	+
	102	+(%class=abc%)
	103	+1. {{formula}}f(x)=x+9{{/formula}}
	104	+1. {{formula}}f(x)=x^2+7x{{/formula}}
	105	+1. {{formula}}f(x)=e^{2x}-1{{/formula}}
	106	+{{/aufgabe}}
	107	+
	108	+{{aufgabe id="Gabriels Horn" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" niveau="e" zeit="15"}}
	109	+**Volumen- und Mantelflächeninhalte - Gabriels Horn - Torricellis Trompete **
	110	+Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} mit der Defintionsmenge {{formula}} D=[1;\infty[{{/formula}}.
	111	+
	112	+[[image:GabrielHorn.png]]
	113	+a) Berechne den Rauminhalt des Drehkörpers, der entsteht, wenn man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall {{formula}} I=[1;\infty[{{/formula}} um die x-Achse rotiert.
	114	+b) Zeige, dass die Mantelfläche M (Oberfläche des Rotationskörpers) des Rotationskörpers unendlich ist. Hinweis: Schätze die Mantelfläche dazu gegen eine Fläche ab, die kleiner ist als die Mantelfläche, aber immer noch einen unendlichen Wert besitzt. Hierzu bietet sich die harmonische Reihe an für die gilt {{formula}} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\infty{{/formula}}.
	115	+c) Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers lässt sich exakt durch {{formula}} M(x)= 2\, \pi\cdot \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} dx{{/formula}} berechnen Begründe wie man mit der Mantelformel die Behauptung aus der b) bestätigen kann. Hinweis: Da sich das Integral mit schulischen Mitteln nicht lösen lässt verwende die Abschätzung {{formula}}\sqrt{1+f'(x)^2} \geq 1 {{/formula}} für alle {{formula}} x \in \mathbb{R} {{/formula}}.
	116	+{{/aufgabe}}
	117	+
	118	+
120	120	{{seitenreflexion/}}