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Version 60.1 von Holger Engels am 2026/10/08 14:12
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 4.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Martina Wagner 3.1 3 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung mithilfe der Integralfunktion geometrisch sowie anschaulich als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff erläutern. {{niveau}}e{{/niveau}}
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zur Berechnung von bestimmten Integralen nutzen
5 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zur Berechnung von Integrationsgrenzen bei gegebenem Integralwert nutzen
Holger Engels 4.1 6
Holger Engels 6.2 7 {{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" kompetenzen="K2, K1, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
Holger Engels 4.1 8 Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion {{formula}}I_a{{/formula}} einer Funktion //f// auch Stammfunktion derselben Funktion //f// ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist.
9
10 * Paul behauptet, dies sei für jede Funktion //f// der Fall.
11 * Sevda meint dagegen, jede Funktion besäße auch Stammfunktionen, die //keine// Integralfunktionen sind.
12 * Lucie zuletzt ist der Auffassung, dass es von der Funktion abhänge.
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14 Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von //f// auch Stammfunktion von //f// ist. Überprüfe dann, wer Recht hat.
15 {{/aufgabe}}
16
Debora Kemm 14.1 17 {{aufgabe id="Integrale berechnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Benjamin Kaiser, Debora Kemm" zeit="15"}}
Holger Engels 57.2 18 [[image:Integrale berechnen.svg||class=right width=250]](%class="abc"%)
Debora Kemm 13.1 19 1. Berechne das Integral der Funktion {{formula}}f(x) = x^3-2x^2{{/formula}}. Die Grenzen des Integrals sind die beiden Nullstellen. Der Graph der Funktion ist rechts abgebildet.
Anna Kukin 54.1 20 1. Berechne das Integral der folgenden Funktion im Intervall {{formula}}I[0;3]{{/formula}} {{formula}}g(x) = 2e^{(-3x+1)}{{/formula}}.
21 1. Berechne das Integral von //h(x)// im Intervall {{formula}}I[0;3]{{/formula}}.
Debora Kemm 13.1 22
Debora Kemm 12.1 23 |=x|-1|0| 1|2| 3|4
Holger Engels 54.2 24 |=h(x)|1,5|0|-1,5|0|7,5|24
25 |=H(x)|2,13|3|2,13|1|4,13|19
Debora Kemm 6.3 26 {{/aufgabe}}
27
Holger Engels 58.1 28 {{aufgabe id="Obergrenze gesucht" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
29 Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:
30
31 {{formula}}\int_1^b 3x^2 \, dx = 7{{/formula}}
32
33 Bestimme die Obergrenze {{formula}}b{{/formula}} (mit {{formula}}b > 1{{/formula}}), sodass der Wert des Integrals genau {{formula}}7{{/formula}} beträgt.
34 {{/aufgabe}}
35
36 {{aufgabe id="Bilanz null" afb="II" kompetenzen="K2, K5" quelle="Holger Engels" zeit="8"}}
37 Es gilt für das bestimmte Integral im Intervall {{formula}}[1; 5]{{/formula}}:
38
39 {{formula}}\int_{1}^5 f(x) \, dx = 0{{/formula}}
40
41 Gib jeweils eine Funktionsgleichung für {{formula}}f{{/formula}} an, die diese Bedingung erfüllt. Begründe jeweils Deine Wahl.
42 (%class=abc%)
43 1. {{formula}}f{{/formula}} ist eine trigonometrische Funktion.
44 1. {{formula}}f{{/formula}} ist eine Polynomfunktion.
45 {{/aufgabe}}
46
Johannes Sommerfeld 20.1 47 {{aufgabe id="HDI erklären" afb="II" kompetenzen="K4, K6" quelle="Sommerfeld" zeit="15"}}
Anna Kukin 54.1 48 Gegeben ist eine stetige Funktion {{formula}}f{{/formula}}. Die zugehörige Integralfunktion mit unterer Grenze {{formula}}a{{/formula}} ist definiert durch
Johannes Sommerfeld 16.1 49 {{formula}}
50 J_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt.
51 {{/formula}}
52
Johannes Sommerfeld 18.1 53 (%class="abc" %)
Johannes Sommerfeld 19.1 54 1. Erläutere in eigenen Worten, was der Funktionswert {{formula}}J_a(x){{/formula}} geometrisch bedeutet. Fertige zur Veranschaulichung eine Skizze an.
Holger Engels 54.3 55 1. Gib den Wert {{formula}}J_a(a){{/formula}} an und begründe deine Antwort.
Johannes Sommerfeld 20.1 56 1. Erläutere den Zusammenhang zwischen {{formula}}J_a{{/formula}}und f.
Johannes Sommerfeld 16.1 57 {{/aufgabe}}
58
Johannes Sommerfeld 41.1 59 {{aufgabe id="HDI anwenden" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Sommerfeld" zeit="10"}}
Johannes Sommerfeld 16.1 60 Ein Schüler behauptet:
61
Johannes Sommerfeld 27.1 62 "Die Funktion G mit {{formula}}G(x) = \int_2^x f(t)\,dt {{/formula}} und die Funktion H mit {{formula}}H(x) = \int_5^x f(t)\,dt{{/formula}} sind verschiedene Funktionen. Daher kann f nicht gleichzeitig die Ableitung von G und von H sein."
Johannes Sommerfeld 16.1 63
Johannes Sommerfeld 41.1 64 (%class="abc" %)
65 1. Begründe, unter welchen Voraussetzungen G und H verschiedene Funktionen sind.
Johannes Sommerfeld 43.1 66 1. Erkläre, ob die Aussage des Schülers wahr oder falsch ist.
Johannes Sommerfeld 16.1 67 {{/aufgabe}}
68
Johannes Sommerfeld 34.1 69 {{aufgabe id="Integralfunktion graphisch" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K6" quelle="Sommerfeld" zeit="15"}}
Johannes Sommerfeld 41.1 70 Gegeben ist der Graph einer in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion f.
Johannes Sommerfeld 40.1 71 [[image:graph_f.png||class=right width=450]]
Johannes Sommerfeld 35.1 72 Betrachtet wird die Integralfunktion {{formula}}J_0(x) = \int_0^x f(t)dt {{/formula}}.
Johannes Sommerfeld 36.1 73 (%class="abc" %)
74 1. Markiere in der Skizze farbig den Flächeninhalt, der dem Wert {{formula}}J_0(4) {{/formula}} entspricht.
Johannes Sommerfeld 38.1 75 1. Entscheide ohne Rechnung, welcher der beiden Funktionswerte {{formula}}J_0(2) {{/formula}} und {{formula}}J_0(4){{/formula}} größer ist.
76 1. Begründe, an welcher Stelle {{formula}}x_0 \in [0;\,7] {{/formula}} die Integralfunktion {{formula}}J_0 {{/formula}} die kleinste Steigung besitzt.
Johannes Sommerfeld 42.1 77 1. Begründe, dass {{formula}}J_0 {{/formula}} auf dem Intervall {{formula}}[0;\,7] {{/formula}} streng monoton steigend ist.
Johannes Sommerfeld 34.1 78 {{/aufgabe}}
Johannes Sommerfeld 33.1 79
Holger Engels 59.3 80 {{aufgabe id="Stammfunktion auch Integralfunktion" afb="II" kompetenzen="K2, K5" quelle="Sarah Grossmann" zeit="5"}}
Holger Engels 59.2 81 Nenne eine Funktionsklasse, deren Stammfunktionen alle auch Integralfunktionen sind. Begründe Deine Antwort.
Holger Engels 59.1 82 {{/aufgabe}}
83
Thomas Hermann 50.2 84 {{aufgabe id="Flächen abschätzen" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" quelle="Thomas Hermann" zeit="5"}}
Thomas Hermann 48.3 85 Gegeben sind die Graphen der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen f und g mit {{formula}}f(x)=x\cdot e^x{{/formula}} und
86 {{formula}}g(x)=log_{10}(x+1,5)+1{{/formula}}.
Thomas Hermann 45.2 87
Thomas Hermann 48.2 88 [[image:xEhochxlog.png||width="500" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
Thomas Hermann 45.4 89
90 (%class=abc%)
Thomas Hermann 45.7 91 1. Entscheide und begründe, ob {{formula}}\int_{-1}^{1}(x \cdot e^x) dx{{/formula}} größer, gleich oder kleiner 0 ist.
Thomas Hermann 50.1 92 1. Schätze den Wert des Integrals {{formula}}\int_{-1,4}^{0,7}(g(x)-f(x)) dx{{/formula}} ab und begründe.
Thomas Hermann 43.2 93 {{/aufgabe}}
94
Holger Engels 51.1 95 {{aufgabe id="Rechenregeln" afb="III" kompetenzen="K4,K5" quelle="Holger Engels" zeit="9"}}
Anna Kukin 54.1 96 Gegeben sind zwei im Intervall {{formula}}[-5; 5]{{/formula}} stetige Funktionen {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}}. Es sind keine Funktionsterme bekannt, lediglich die Symmetrieeigenschaften:
97 * Der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist punktsymmetrisch zum Ursprung
98 * Der Graph der Funktion {{formula}}g{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse
Holger Engels 51.1 99 und folgende bestimmte Integralwerte:
100
Holger Engels 53.1 101 (% style="display:flex"%)(((
Holger Engels 52.1 102 ((({{formula}}\int\limits_{0}^{3}f(x)\ dx=5{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{0}^{5}g(x)\ dx=14{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{-3}^{3}(f(x)+g(x))\ dx=18{{/formula}})))
Holger Engels 53.1 103 )))
Holger Engels 51.1 104
105 Ermittle den exakten Wert des folgenden bestimmten Integrals:
106
107 {{formula}}\int\limits_{-5}^{-3}g(x)\ dx{{/formula}}
108 {{/aufgabe}}
109
Holger Engels 60.1 110 {{aufgabe id="Fläche halbieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="8"}}
111 Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = e^{-x}{{/formula}}
112
113 Der Graph von //f// schließt im Intervall {{formula}}[0, \ln(3)]{{/formula}} zusammen mit der x-Achse und den Geraden {{formula}}x = 0{{/formula}} und {{formula}}x = \ln(3){{/formula}} eine geschlossene Fläche ein.
114
115 Gesucht ist die Geradengleichung {{formula}}x = u{{/formula}} (mit {{formula}}0 < u < \ln(3){{/formula}}), welche diese Fläche in zwei flächengleiche Hälften teilt.
116 {{/aufgabe}}
117
Holger Engels 4.1 118 {{seitenreflexion/}}