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Version 63.3 von Holger Engels am 2026/10/12 10:19
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann das bestimmte Integral als rekonstruierten Bestand deuten
4 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann das bestimmte Integral als Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse deuten
5 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Wert bestimmter Integrale mittels Flächenzerlegung näherungsweise ermitteln
6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann den propädeutischen Grenzwertbegriff beim Übergang von Unter- und Obersummen zum bestimmten Integral nutzen {{niveau}}e{{/niveau}}
7 [[Kompetenzen.K6]] Ich kann den Wert eines bestimmten Integrals als Bilanz orientierter Flächeninhalte interpretieren
8 [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals erläutern {{niveau}}e{{/niveau}}
9 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals nutzen {{niveau}}g{{/niveau}}
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11 {{lernende}}
12 Siehe dazu [[Rekonstruktion einer Größe>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]] und [[Obersumme/Untersumme interaktiv>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme#erkunden]]
13 {{/lernende}}
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15 == Bestandsrekonstruktion ==
16
17 {{aufgabe id="Gefäß" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
18 Ein Gefäß sei zu Beginn der Beobachtung mit //10 l// gefüllt. Es wird folgender Zufluss/ Abluss beobachtet:
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20 [[image:Gefäß.svg||class=center width=600]]
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22 Bestimme den Füllstand nach diesen Veränderungen.
23 {{/aufgabe}}
24
25 {{aufgabe id="Fahrstrecke" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
26 [[image:Fahrstrecke.svg||class="right" width=500]]Das Schaubild zeigt den Geschwindigkeitsverlauf während einer Autofahrt.
27 Bestimme die zurückgelegte Strecke.
28 {{/aufgabe}}
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30 {{aufgabe id="Photovoltaikanlage" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
31 [[image:Photovoltaik.svg||class="right" width=500]]Ein Speicher wird über eine Photovoltaikanlage geladen. Das Schaubild zeigt die Ladeleistung über die Zeit.
32 Bestimme näherungsweise die gespeicherte Energiemenge des Speichers um 18:00 Uhr unter der Annahme, dass sie morgens um 6:00 Uhr //2 kWh// betrug.
33 {{/aufgabe}}
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35 {{aufgabe id="Test-Rakete" afb="II" kompetenzen="K3,K4" quelle="Holger Engels" zeit="9"}}
36 Bei der Erprobung eines neuen Raketenantriebs werden verschiedene Flugprofile getestet. Bereits eingezeichnet in das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ist ein unrealistisches Flugprofil, bei dem die Rakete schlagartig auf ihre Reisegeschwindigkeit kommt und diese die gesamten 20 Sekunden konstant hält.
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38 [[image:Rakete.svg||width=600 class=left]]Der Flächeninhalt unter dem Graphen der Geschwindigkeit entspricht dem zurückgelegten Weg //s// (in m).
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40 (%style="clear:left"%)
41 Zeichne für die beiden folgenden Flugprofile jeweils einen möglichen Graphen in das Koordinatensystem ein. Allen drei Flugprofilen ist die Dauer von 20 Sekunden und die Strecke von 600 Metern gemein.
42 (%class=abc%)
43 1. Konstante Beschleunigung: Die Rakete startet aus dem Stand (//v(0) = 0//) und beschleunigt für 20 Sekunden mit einer konstanten Rate. Die Geschwindigkeit nimmt also linear zu.
44 1. Start-, Flug- und Bremsphase: In einem weiteren Testflug startet die Rakete aus dem Stand (//v(0) = 0//), beschleunigt 8 Sekunden lang mit einer konstanten Rate, fliegt dann 4 Sekunden lang mit konstanter Geschwindigkeit und bremst schließlich mit einer konstanten negativen Rate wieder 8 Sekunden lang bis zum Stillstand (//v(20)=0//) ab.
45 {{/aufgabe}}
46
47 {{aufgabe id="Streifenmethode" afb="II" kompetenzen="" quelle="Holger Engels, Stefanie Walz" zeit=""}}
48 [[image:Streifenmethode.svg||width=250 class=right]]Das Schaubild zeigt die Normalparabel {{formula}}f(x)= x^2{{/formula}} und die Streifen der Untersumme für //n =4// Streifen und einer Streifenbreite von {{formula}}\frac{b}{n}=\frac{1}{4}{{/formula}}. Allgemein bestimmt sich sich die Untersumme für die Streifen folgendermaßen:
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50 {{formula}}
51 \begin{aligned}
52 U_n &= \Delta x \cdot f(0\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f((n-1)\cdot\Delta x) \\
53 \text{} &= \Delta x \cdot (0\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot ((n-1)\cdot \Delta x)^2
54 \end{aligned}
55 {{/formula}}
56
57 .. führt nach einigen Umformungen schließlich zu:
58
59 {{formula}}U_n = b^3\frac16(2-\frac3n+\frac1{n^2}){{/formula}}
60
61 Analog ergibt sich für die Obersumme:
62
63 {{formula}}O_n = b^3\frac16(2+\frac3n+\frac1{n^2}){{/formula}}
64
65 (%class=abc%)
66 1. (((Berechne den Wert dieser Summen für unterschiedliche //n//.
67 (%class="border slim"%)
68 |=//n//| 4 | 8 | 100
69 |={{formula}}U_n{{/formula}}|||
70 |={{formula}}O_n{{/formula}}|||
71 )))
72 1. Betrachte die Terme und begründe, gegen welchen Wert beide für {{formula}}n\rightarrow\infty{{/formula}} streben.
73 {{/aufgabe}}
74
75 == Bestimmtes Integral ==
76
77 {{aufgabe id="Bestimmtes Integral" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="7"}}
78 Bestimme den Wert des Integrals:
79 (%class="abc horiz"%)
80 1. ((({{formula}}\int_0^\pi \sin(x) \, dx{{/formula}})))
81 1. ((({{formula}}\int_0^{2\pi} \sin(x) \, dx{{/formula}})))
82 1. ((({{formula}}\int_0^1 e^x \, dx{{/formula}})))
83 {{/aufgabe}}
84
85 {{aufgabe id="Bestimmtes Integral vs Fläche" afb="I" kompetenzen="K1, K6" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
86 Gegeben ist der Graph einer Funktion //f//, der die x-Achse bei {{formula}}x = 2{{/formula}} schneidet. Die Teilfläche unterhalb der x-Achse im Intervall {{formula}}[0; 2]{{/formula}} beträgt 3 FE, die Teilfläche oberhalb im Intervall {{formula}}[2; 5]{{/formula}} beträgt 7 FE.
87 (%class=abc%)
88 1. Bestimme den Wert des Integrals {{formula}}\int_{0}^{5} f(x)\,dx{{/formula}}.
89 1. Bestimme den geometrischen Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse über {{formula}}[0; 5]{{/formula}} einschließt.
90 1. Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
91 {{/aufgabe}}
92
93 == Eigenschaften ==
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95 {{aufgabe id="Eigenschaften erläutern" afb="II" kompetenzen="K6" quelle="" zeit="6"}}
96 Veranschauliche und begründe anhand einer Skizze oder anhand der Flächenbilanz, warum folgende Rechenregeln für stetige Funktionen gelten:
97 (%class="abc horiz"%)
98 1. ((({{formula}}\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx{{/formula}})))
99 1. ((({{formula}}\int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx{{/formula}})))
100 {{/aufgabe}}
101
102 {{aufgabe id="Integraleigenschaften" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Debora Kemm, Benjamin Kaiser" zeit="10"}}
103 Ermittle eine aufsteigende Reihenfolge für den Wert der folgenden Integrale
104 (% style="display:flex"%)(((
105 ((({{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x+4} \, dx{{/formula}})))
106 ((({{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x-4} \, dx{{/formula}})))
107 ((({{formula}}\int_{-5}^{5} (-x^5 + 4x^3-2x)\, dx{{/formula}})))
108 ((({{formula}}\int_{-5}^{5} (\cos(\frac{1}{2}x)-3)\, dx{{/formula}})))
109 )))
110 {{/aufgabe}}
111
112 {{aufgabe id="Bilanz null" afb="II" kompetenzen="K2, K5" quelle="Holger Engels" zeit="8"}}
113 Es gilt für das bestimmte Integral im Intervall {{formula}}[1; 5]{{/formula}}:
114
115 {{formula}}\int_{1}^5 f(x) \, dx = 0{{/formula}}
116
117 Gib jeweils eine Funktionsgleichung für {{formula}}f{{/formula}} an, die diese Bedingung erfüllt. Begründe jeweils Deine Wahl.
118 (%class=abc%)
119 1. {{formula}}f{{/formula}} ist eine trigonometrische Funktion.
120 1. {{formula}}f{{/formula}} ist eine Polynomfunktion.
121 {{/aufgabe}}
122
123 {{aufgabe id="Rechenregeln" afb="III" kompetenzen="K4,K5" quelle="Holger Engels" zeit="9"}}
124 Gegeben sind zwei im Intervall {{formula}}[-5; 5]{{/formula}} stetige Funktionen {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}}. Es sind keine Funktionsterme bekannt, lediglich die Symmetrieeigenschaften:
125 * Der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist punktsymmetrisch zum Ursprung
126 * Der Graph der Funktion {{formula}}g{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse
127 und folgende bestimmte Integralwerte:
128
129 (% style="display:flex"%)(((
130 ((({{formula}}\int\limits_{0}^{3}f(x)\ dx=5{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{0}^{5}g(x)\ dx=14{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{-3}^{3}(f(x)+g(x))\ dx=18{{/formula}})))
131 )))
132
133 Ermittle den exakten Wert des folgenden bestimmten Integrals:
134
135 {{formula}}\int\limits_{-5}^{-3}g(x)\ dx{{/formula}}
136 {{/aufgabe}}
137
138 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}