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Version 58.6 von Holger Engels am 2026/10/12 09:31
Verstecke letzte Bearbeiter
VBS 18.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Martina Wagner 3.1 3 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann das bestimmte Integral als rekonstruierten Bestand deuten
4 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann das bestimmte Integral als Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse deuten
5 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Wert bestimmter Integrale mittels Flächenzerlegung näherungsweise ermitteln
Holger Engels 19.3 6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann den propädeutischen Grenzwertbegriff beim Übergang von Unter- und Obersummen zum bestimmten Integral nutzen {{niveau}}e{{/niveau}}
Martina Wagner 3.1 7 [[Kompetenzen.K6]] Ich kann den Wert eines bestimmten Integrals als Bilanz orientierter Flächeninhalte interpretieren
8 [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals erläutern {{niveau}}e{{/niveau}}
Holger Engels 19.3 9 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals nutzen {{niveau}}g{{/niveau}}
holger 1.1 10
Holger Engels 19.3 11 {{lernende}}
12 Siehe dazu [[Rekonstruktion einer Größe>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]] und [[Obersumme/Untersumme interaktiv>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme#erkunden]]
13 {{/lernende}}
14
Holger Engels 46.1 15 == Bestandsrekonstruktion ==
Holger Engels 57.1 16
Holger Engels 19.3 17 {{aufgabe id="Gefäß" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
18 Ein Gefäß sei zu Beginn der Beobachtung mit //10 l// gefüllt. Es wird folgender Zufluss/ Abluss beobachtet:
Holger Engels 28.1 19
20 [[image:Gefäß.svg||class=center width=600]]
21
Holger Engels 19.3 22 Bestimme den Füllstand nach diesen Veränderungen.
23 {{/aufgabe}}
24
Holger Engels 29.1 25 {{aufgabe id="Fahrstrecke" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
Holger Engels 31.1 26 [[image:Fahrstrecke.svg||class="right" width=500]]Das Schaubild zeigt den Geschwindigkeitsverlauf während einer Autofahrt.
Holger Engels 29.1 27 Bestimme die zurückgelegte Strecke.
28 {{/aufgabe}}
29
Holger Engels 33.1 30 {{aufgabe id="Photovoltaikanlage" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
Holger Engels 44.2 31 [[image:Photovoltaik.svg||class="right" width=500]]Ein Speicher wird über eine Photovoltaikanlage geladen. Das Schaubild zeigt die Ladeleistung über die Zeit.
Holger Engels 40.6 32 Bestimme näherungsweise die gespeicherte Energiemenge des Speichers um 18:00 Uhr unter der Annahme, dass sie morgens um 6:00 Uhr //2 kWh// betrug.
Holger Engels 33.1 33 {{/aufgabe}}
34
Holger Engels 46.1 35 {{aufgabe id="Test-Rakete" afb="II" kompetenzen="K3,K4" quelle="Holger Engels" zeit="9"}}
Holger Engels 50.2 36 Bei der Erprobung eines neuen Raketenantriebs werden verschiedene Flugprofile getestet. Bereits eingezeichnet in das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ist ein unrealistisches Flugprofil, bei dem die Rakete schlagartig auf ihre Reisegeschwindigkeit kommt und diese die gesamten 20 Sekunden konstant hält.
Holger Engels 46.1 37
Holger Engels 48.1 38 [[image:Rakete.svg||width=600]]
Holger Engels 51.1 39 Der Flächeninhalt unter dem Graphen der Geschwindigkeit entspricht dem zurückgelegten Weg //s// (in m).
40
41 Zeichne für die beiden folgenden Flugprofile jeweils einen möglichen Graphen in das Koordinatensystem ein. Allen drei Flugprofilen ist die Dauer von 20 Sekunden und die Strecke von 600 Metern gemein.
Holger Engels 46.1 42 (%class=abc%)
Holger Engels 47.1 43 1. Konstante Beschleunigung: Die Rakete startet aus dem Stand (//v(0) = 0//) und beschleunigt für 20 Sekunden mit einer konstanten Rate. Die Geschwindigkeit nimmt also linear zu.
44 1. Start-, Flug- und Bremsphase: In einem weiteren Testflug startet die Rakete aus dem Stand (//v(0) = 0//), beschleunigt 8 Sekunden lang mit einer konstanten Rate, fliegt dann 4 Sekunden lang mit konstanter Geschwindigkeit und bremst schließlich mit einer konstanten negativen Rate wieder 8 Sekunden lang bis zum Stillstand (//v(20)=0//) ab.
Holger Engels 46.1 45 {{/aufgabe}}
46
Holger Engels 51.7 47 {{aufgabe id="Streifenmethode" afb="II" kompetenzen="" quelle="Holger Engels, Stefanie Walz" zeit=""}}
Stefanie Walz 56.1 48 [[image:Streifenmethode.svg||width=250 class=right]]Das Schaubild zeigt die Normalparabel {{formula}}f(x)= x^2{{/formula}} und die Streifen der Untersumme für //n =4// Streifen und einer Streifenbreite von {{formula}}\frac{b}{n}=\frac{1}{4}{{/formula}}. Allgemein bestimmt sich sich die Untersumme für die Streifen folgendermaßen:
Holger Engels 51.2 49
Holger Engels 53.2 50 {{formula}}
Holger Engels 53.5 51 \begin{aligned}
Holger Engels 53.7 52 U_n &= \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(2\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f(n\cdot\Delta x) \\
53 \text{} &= \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (2\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot (n\cdot \Delta x)^2
Holger Engels 53.5 54 \end{aligned}
Holger Engels 53.2 55 {{/formula}}
Holger Engels 53.3 56
Holger Engels 53.7 57 ... führt nach einigen Umformungen schließlich zu ...
Holger Engels 53.3 58
Holger Engels 51.7 59 {{formula}}U_n = b^3\frac16(2+\frac3n+\frac1{n^2}){{/formula}}
Holger Engels 53.3 60
Holger Engels 53.7 61 Berechne den Wert dieser Summe für unterschiedliche //n//.
Holger Engels 51.8 62 (%class="border slim"%)
Holger Engels 53.10 63 |=//n//| 4 | 8 | 100
Holger Engels 51.8 64 |={{formula}}U_n{{/formula}}|||
Holger Engels 53.7 65
Holger Engels 53.2 66 Betrachte den Term und begründe, gegen welchen Wert er für {{formula}}n\rightarrow\infty{{/formula}} strebt.
Holger Engels 51.2 67 {{/aufgabe}}
68
Holger Engels 46.1 69 == Bestimmtes Integral ==
70
Holger Engels 58.1 71 {{aufgabe id="Bestimmtes Integral" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="7"}}
72 Bestimme den Wert des Integrals:
Holger Engels 58.4 73 (%class="abc horiz"%)
Holger Engels 58.6 74 1. ((({{formula}}\int_0^\pi \sin(x) \, dx{{/formula}})))
75 1. ((({{formula}}\int_0^{2\pi} \sin(x) \, dx{{/formula}})))
76 1. ((({{formula}}\int_0^1 e^x \, dx{{/formula}})))
Holger Engels 58.1 77 {{/aufgabe}}
78
Holger Engels 57.1 79 {{aufgabe id="Bestimmtes Integral vs Fläche" afb="I" kompetenzen="K1, K6" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
80 Gegeben ist der Graph einer Funktion //f//, der die x-Achse bei {{formula}}x = 2{{/formula}} schneidet. Die Teilfläche unterhalb der x-Achse im Intervall {{formula}}[0; 2]{{/formula}} beträgt 3 FE, die Teilfläche oberhalb im Intervall {{formula}}[2; 5]{{/formula}} beträgt 7 FE.
81 (%class=abc%)
82 1. Bestimme den Wert des Integrals {{formula}}\int_{0}^{5} f(x)\,dx{{/formula}}.
83 1. Bestimme den geometrischen Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse über {{formula}}[0; 5]{{/formula}} einschließt.
84 1. Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
85 {{/aufgabe}}
86
Holger Engels 46.1 87 == Eigenschaften ==
Holger Engels 57.1 88
Holger Engels 57.2 89 {{aufgabe id="Eigenschaften erläutern" afb="II" kompetenzen="K6" quelle="" zeit="6"}}
90 Veranschauliche und begründe anhand einer Skizze oder anhand der Flächenbilanz, warum folgende Rechenregeln für stetige Funktionen gelten:
Holger Engels 58.5 91 (%class="abc horiz"%)
92 1. ((({{formula}}\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx{{/formula}})))
93 1. ((({{formula}}\int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx{{/formula}})))
Holger Engels 57.2 94 {{/aufgabe}}
95
Benjamin Kaiser 38.1 96 {{aufgabe id="Integraleigenschaften" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Debora Kemm, Benjamin Kaiser" zeit="10"}}
Holger Engels 58.2 97 Ermittle eine aufsteigende Reihenfolge für den Wert der folgenden Integrale
Holger Engels 58.5 98 (% style="display:flex"%)(((
99 ((({{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x+4} \, dx{{/formula}})))
100 ((({{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x-4} \, dx{{/formula}})))
101 ((({{formula}}\int_{-5}^{5} (-x^5 + 4x^3-2x)\, dx{{/formula}})))
102 ((({{formula}}\int_{-5}^{5} (\cos(\frac{1}{2}x)-3)\, dx{{/formula}})))
103 )))
Benjamin Kaiser 35.1 104 {{/aufgabe}}
105
Holger Engels 46.1 106 {{aufgabe id="Bilanz null" afb="II" kompetenzen="K2, K5" quelle="Holger Engels" zeit="8"}}
107 Es gilt für das bestimmte Integral im Intervall {{formula}}[1; 5]{{/formula}}:
Holger Engels 45.1 108
Holger Engels 46.1 109 {{formula}}\int_{1}^5 f(x) \, dx = 0{{/formula}}
110
111 Gib jeweils eine Funktionsgleichung für {{formula}}f{{/formula}} an, die diese Bedingung erfüllt. Begründe jeweils Deine Wahl.
Holger Engels 45.1 112 (%class=abc%)
Holger Engels 46.1 113 1. {{formula}}f{{/formula}} ist eine trigonometrische Funktion.
114 1. {{formula}}f{{/formula}} ist eine Polynomfunktion.
Holger Engels 45.1 115 {{/aufgabe}}
116
Holger Engels 46.1 117 {{aufgabe id="Rechenregeln" afb="III" kompetenzen="K4,K5" quelle="Holger Engels" zeit="9"}}
118 Gegeben sind zwei im Intervall {{formula}}[-5; 5]{{/formula}} stetige Funktionen {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}}. Es sind keine Funktionsterme bekannt, lediglich die Symmetrieeigenschaften:
119 * Der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist punktsymmetrisch zum Ursprung
120 * Der Graph der Funktion {{formula}}g{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse
121 und folgende bestimmte Integralwerte:
122
123 (% style="display:flex"%)(((
124 ((({{formula}}\int\limits_{0}^{3}f(x)\ dx=5{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{0}^{5}g(x)\ dx=14{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{-3}^{3}(f(x)+g(x))\ dx=18{{/formula}})))
125 )))
126
127 Ermittle den exakten Wert des folgenden bestimmten Integrals:
128
129 {{formula}}\int\limits_{-5}^{-3}g(x)\ dx{{/formula}}
130 {{/aufgabe}}
131
Holger Engels 19.1 132 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}