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Version 47.1 von Holger Engels am 2026/10/09 10:09
Verstecke letzte Bearbeiter
VBS 18.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Martina Wagner 3.1 3 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann das bestimmte Integral als rekonstruierten Bestand deuten
4 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann das bestimmte Integral als Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse deuten
5 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Wert bestimmter Integrale mittels Flächenzerlegung näherungsweise ermitteln
Holger Engels 19.3 6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann den propädeutischen Grenzwertbegriff beim Übergang von Unter- und Obersummen zum bestimmten Integral nutzen {{niveau}}e{{/niveau}}
Martina Wagner 3.1 7 [[Kompetenzen.K6]] Ich kann den Wert eines bestimmten Integrals als Bilanz orientierter Flächeninhalte interpretieren
8 [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals erläutern {{niveau}}e{{/niveau}}
Holger Engels 19.3 9 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals nutzen {{niveau}}g{{/niveau}}
holger 1.1 10
Holger Engels 19.3 11 {{lernende}}
12 Siehe dazu [[Rekonstruktion einer Größe>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]] und [[Obersumme/Untersumme interaktiv>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme#erkunden]]
13 {{/lernende}}
14
Holger Engels 34.1 15 --Deu­tung des be­stimm­ten In­te­grals (Be­stands­re­kon­struk­ti­on, z. B. zu­rück­ge­leg­te Stre­cke bei ver­än­der­li­cher Ge­schwin­dig­keit, Flä­che)--
Holger Engels 46.2 16 --ge­krümm­te Rand­funk­ti­on--
17 --Nä­he­rungs­wei­se Be­rech­nung von In­te­gra­len (z. B. Käst­chen­zäh­len, Ober- und Un­ter­sum­me)--
Holger Engels 28.3 18 Ori­en­tier­ter Flä­chen­in­halt (z. B. Zu- und Ab­fluss­men­ge)
19 Ei­gen­schaf­ten des be­stimm­ten In­te­grals (In­ter­val­l­ad­di­ti­vi­tät, Li­nea­ri­tät des In­te­grals, In­te­gral­wert ist Null bei un­ge­ra­den Funk­tio­nen und zu x=0 sym­me­tri­schen In­te­gra­ti­ons­gren­zen)
Holger Engels 28.2 20
Holger Engels 46.1 21 == Bestandsrekonstruktion ==
Holger Engels 19.3 22 {{aufgabe id="Gefäß" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
23 Ein Gefäß sei zu Beginn der Beobachtung mit //10 l// gefüllt. Es wird folgender Zufluss/ Abluss beobachtet:
Holger Engels 28.1 24
25 [[image:Gefäß.svg||class=center width=600]]
26
Holger Engels 19.3 27 Bestimme den Füllstand nach diesen Veränderungen.
28 {{/aufgabe}}
29
Holger Engels 29.1 30 {{aufgabe id="Fahrstrecke" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
Holger Engels 31.1 31 [[image:Fahrstrecke.svg||class="right" width=500]]Das Schaubild zeigt den Geschwindigkeitsverlauf während einer Autofahrt.
Holger Engels 29.1 32 Bestimme die zurückgelegte Strecke.
33 {{/aufgabe}}
34
Holger Engels 33.1 35 {{aufgabe id="Photovoltaikanlage" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
Holger Engels 44.2 36 [[image:Photovoltaik.svg||class="right" width=500]]Ein Speicher wird über eine Photovoltaikanlage geladen. Das Schaubild zeigt die Ladeleistung über die Zeit.
Holger Engels 40.6 37 Bestimme näherungsweise die gespeicherte Energiemenge des Speichers um 18:00 Uhr unter der Annahme, dass sie morgens um 6:00 Uhr //2 kWh// betrug.
Holger Engels 33.1 38 {{/aufgabe}}
39
Holger Engels 46.1 40 {{aufgabe id="Test-Rakete" afb="II" kompetenzen="K3,K4" quelle="Holger Engels" zeit="9"}}
Holger Engels 46.3 41 Bei der Erprobung eines neuen Raketenantriebs werden verschiedene Flugprofile getestet. Die Telemetrie wertet dabei aus, wie sich die Geschwindigkeit //v// (in m/s) über die Zeit //t// (in s) verändert (Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm). Der orientierte Flächeninhalt unter dem Graphen der Geschwindigkeit entspricht dabei dem zurückgelegten Weg //s// (in m).
Holger Engels 46.1 42
Holger Engels 47.1 43 Zeichne für jedes der folgenden Flugprofile einen möglichen Graphen der Geschwindigkeit //v(t)// in das Koordinatensystem ein. Allen drei Flugprofilen ist die Dauer von 20 Sekunden und die Strecke von 600 Metern gemein.
Holger Engels 46.1 44 (%class=abc%)
45 1. Konstante Geschwindigkeit: Die Rakete legt in den ersten 20 Sekunden eine Strecke von genau 600 Metern zurück. Zur Vereinfachung gehen wir in diesem (unrealistischen) Testfall davon aus, dass die Rakete schlagartig auf ihre Reisegeschwindigkeit kommt und diese die gesamten 20 Sekunden konstant hält.
Holger Engels 47.1 46 1. Konstante Beschleunigung: Die Rakete startet aus dem Stand (//v(0) = 0//) und beschleunigt für 20 Sekunden mit einer konstanten Rate. Die Geschwindigkeit nimmt also linear zu.
47 1. Start-, Flug- und Bremsphase: In einem weiteren Testflug startet die Rakete aus dem Stand (//v(0) = 0//), beschleunigt 8 Sekunden lang mit einer konstanten Rate, fliegt dann 4 Sekunden lang mit konstanter Geschwindigkeit und bremst schließlich mit einer konstanten negativen Rate wieder 8 Sekunden lang bis zum Stillstand (//v(20)=0//) ab.
Holger Engels 46.1 48 {{/aufgabe}}
49
50 == Bestimmtes Integral ==
51
52 == Eigenschaften ==
Benjamin Kaiser 38.1 53 {{aufgabe id="Integraleigenschaften" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Debora Kemm, Benjamin Kaiser" zeit="10"}}
Benjamin Kaiser 35.1 54 Ermittle eine aufgsteigende Reihenfolge für den Wert der folgenden Integrale
55 (%class=abc%)
Benjamin Kaiser 40.1 56 1. {{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x+4} \, dx{{/formula}}
Benjamin Kaiser 39.1 57 1. {{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x-4} \, dx{{/formula}}
Benjamin Kaiser 35.1 58 1. {{formula}}\int_{-5}^{5} (-x^5 + 4x^3-2x)\, dx{{/formula}}
Benjamin Kaiser 36.1 59 1. {{formula}}\int_{-5}^{5} (\cos(\frac{1}{2}x)-3)\, dx {{/formula}}
Benjamin Kaiser 35.1 60 {{/aufgabe}}
61
Holger Engels 46.1 62 {{aufgabe id="Bilanz null" afb="II" kompetenzen="K2, K5" quelle="Holger Engels" zeit="8"}}
63 Es gilt für das bestimmte Integral im Intervall {{formula}}[1; 5]{{/formula}}:
Holger Engels 45.1 64
Holger Engels 46.1 65 {{formula}}\int_{1}^5 f(x) \, dx = 0{{/formula}}
66
67 Gib jeweils eine Funktionsgleichung für {{formula}}f{{/formula}} an, die diese Bedingung erfüllt. Begründe jeweils Deine Wahl.
Holger Engels 45.1 68 (%class=abc%)
Holger Engels 46.1 69 1. {{formula}}f{{/formula}} ist eine trigonometrische Funktion.
70 1. {{formula}}f{{/formula}} ist eine Polynomfunktion.
Holger Engels 45.1 71 {{/aufgabe}}
72
Holger Engels 46.1 73 {{aufgabe id="Rechenregeln" afb="III" kompetenzen="K4,K5" quelle="Holger Engels" zeit="9"}}
74 Gegeben sind zwei im Intervall {{formula}}[-5; 5]{{/formula}} stetige Funktionen {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}}. Es sind keine Funktionsterme bekannt, lediglich die Symmetrieeigenschaften:
75 * Der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist punktsymmetrisch zum Ursprung
76 * Der Graph der Funktion {{formula}}g{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse
77 und folgende bestimmte Integralwerte:
78
79 (% style="display:flex"%)(((
80 ((({{formula}}\int\limits_{0}^{3}f(x)\ dx=5{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{0}^{5}g(x)\ dx=14{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{-3}^{3}(f(x)+g(x))\ dx=18{{/formula}})))
81 )))
82
83 Ermittle den exakten Wert des folgenden bestimmten Integrals:
84
85 {{formula}}\int\limits_{-5}^{-3}g(x)\ dx{{/formula}}
86 {{/aufgabe}}
87
Holger Engels 19.1 88 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}