Änderungen von Dokument BPE 13.1 Bestandsrekonstruktion und Orientierter Flächeninhalt

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -12,8 +12,13 @@
12	12	Siehe dazu [[Rekonstruktion einer Größe>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]] und [[Obersumme/Untersumme interaktiv>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme#erkunden]]
13	13	{{/lernende}}
14	14
15		-== Bestandsrekonstruktion ==
	15	+--Deu­tung des be­stimm­ten In­te­grals (Be­stands­re­kon­struk­ti­on, z. B. zu­rück­ge­leg­te Stre­cke bei ver­än­der­li­cher Ge­schwin­dig­keit, Flä­che)--
	16	+--ge­krümm­te Rand­funk­ti­on--
	17	+--Nä­he­rungs­wei­se Be­rech­nung von In­te­gra­len (z. B. Käst­chen­zäh­len, Ober- und Un­ter­sum­me)--
	18	+Ori­en­tier­ter Flä­chen­in­halt (z. B. Zu- und Ab­fluss­men­ge)
	19	+Ei­gen­schaf­ten des be­stimm­ten In­te­grals (In­ter­val­l­ad­di­ti­vi­tät, Li­nea­ri­tät des In­te­grals, In­te­gral­wert ist Null bei un­ge­ra­den Funk­tio­nen und zu x=0 sym­me­tri­schen In­te­gra­ti­ons­gren­zen)
16	16
	21	+== Bestandsrekonstruktion ==
17	17	{{aufgabe id="Gefäß" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
18	18	Ein Gefäß sei zu Beginn der Beobachtung mit //10 l// gefüllt. Es wird folgender Zufluss/ Abluss beobachtet:
19	19
...	...	@@ -45,56 +45,31 @@
45	45	{{/aufgabe}}
46	46
47	47	{{aufgabe id="Streifenmethode" afb="II" kompetenzen="" quelle="Holger Engels, Stefanie Walz" zeit=""}}
48		-[[image:Streifenmethode.svg||width=250 class=right]]Das Schaubild zeigt die Normalparabel {{formula}}f(x)= x^2{{/formula}} und die Streifen der Untersumme für //n =4// Streifen und einer Streifenbreite von {{formula}}\frac{b}{n}=\frac{1}{4}{{/formula}}. Allgemein bestimmt sich sich die Untersumme für die Streifen folgendermaßen:
	53	+[[Streifenmethode.svg||width=300 class=right]]Das Schaubild zeigt die Normalparabel {{formula}}f(x)= x^2{{/formula}}. Für //n// Streifen und einer Streifenbreite von {{formula}}\frac{b}{n}{{/formula}} ergibt sich die Untersumme folgendermaßen:
49	49
50	50	{{formula}}
51		-\begin{aligned}
52		-U_n &= \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(2\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f(n\cdot\Delta x) \\
53		-\text{} &= \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (2\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot (n\cdot \Delta x)^2
54		-\end{aligned}
	56	+\begin{align*}
	57	+U_n = \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(2\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f(n\cdot\Delta x)
	58	+&= \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (2\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot (n\cdot \Delta x)^2
	59	+\end{align*}
55	55	{{/formula}}
56	56
57		-... führt nach einigen Umformungen schließlich zu ...
	62	+... führt schließlich zu ...
58	58
59	59	{{formula}}U_n = b^3\frac16(2+\frac3n+\frac1{n^2}){{/formula}}
60	60
61		-Berechne den Wert dieser Summe für unterschiedliche //n//.
	66	+Berechne den Wert der Summe für unterschiedliche //n//.
62	62	(%class="border slim"%)
63		-|=//n//| 4 | 8 | 100
	68	+|=n| 4 | 8 | 100
64	64	|={{formula}}U_n{{/formula}}|||
65		-
66	66	Betrachte den Term und begründe, gegen welchen Wert er für {{formula}}n\rightarrow\infty{{/formula}} strebt.
67	67	{{/aufgabe}}
68	68
69	69	== Bestimmtes Integral ==
70	70
71		-{{aufgabe id="Bestimmtes Integral" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="7"}}
72		-Bestimme den Wert des Integrals:
73		-(%class="abc horiz"%)
74		-1. ((({{formula}}\int_0^\pi \sin(x) \cdot dx{{/formula}})))
75		-1. ((({{formula}}\int_0^{2\pi} \sin(x) \cdot dx{{/formula}})))
76		-1. ((({{formula}}\int_0^1 e^x \cdot dx{{/formula}})))
77		-{{/aufgabe}}
78		-
79		-{{aufgabe id="Bestimmtes Integral vs Fläche" afb="I" kompetenzen="K1, K6" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
80		-Gegeben ist der Graph einer Funktion //f//, der die x-Achse bei {{formula}}x = 2{{/formula}} schneidet. Die Teilfläche unterhalb der x-Achse im Intervall {{formula}}[0; 2]{{/formula}} beträgt 3 FE, die Teilfläche oberhalb im Intervall {{formula}}[2; 5]{{/formula}} beträgt 7 FE.
81		-(%class=abc%)
82		-1. Bestimme den Wert des Integrals {{formula}}\int_{0}^{5} f(x)\,dx{{/formula}}.
83		-1. Bestimme den geometrischen Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse über {{formula}}[0; 5]{{/formula}} einschließt.
84		-1. Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
85		-{{/aufgabe}}
86		-
87	87	== Eigenschaften ==
88		-
89		-{{aufgabe id="Eigenschaften erläutern" afb="II" kompetenzen="K6" quelle="" zeit="6"}}
90		-Veranschauliche und begründe anhand einer Skizze oder anhand der Flächenbilanz, warum folgende Rechenregeln für stetige Funktionen gelten:
91		-(%class=abc%)
92		-1. {{formula}}\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx{{/formula}}
93		-1. {{formula}}\int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx{{/formula}}
94		-{{/aufgabe}}
95		-
96	96	{{aufgabe id="Integraleigenschaften" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Debora Kemm, Benjamin Kaiser" zeit="10"}}
97		-Ermittle eine aufsteigende Reihenfolge für den Wert der folgenden Integrale
	77	+Ermittle eine aufgsteigende Reihenfolge für den Wert der folgenden Integrale
98	98	(%class=abc%)
99	99	1. {{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x+4} \, dx{{/formula}}
100	100	1. {{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x-4} \, dx{{/formula}}