Änderungen von Dokument BPE 13.1 Bestandsrekonstruktion und Orientierter Flächeninhalt

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -13,6 +13,7 @@
13	13	{{/lernende}}
14	14
15	15	== Bestandsrekonstruktion ==
	16	+
16	16	{{aufgabe id="Gefäß" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
17	17	Ein Gefäß sei zu Beginn der Beobachtung mit //10 l// gefüllt. Es wird folgender Zufluss/ Abluss beobachtet:
18	18
...	...	@@ -48,33 +48,64 @@
48	48
49	49	{{formula}}
50	50	\begin{aligned}
51		-U_n &= \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(2\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f(n\cdot\Delta x) \\
52		-\text{} &= \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (2\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot (n\cdot \Delta x)^2
	52	+U_n &= \Delta x \cdot f(0\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f((n-1)\cdot\Delta x) \\
	53	+\text{} &= \Delta x \cdot (0\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot ((n-1)\cdot \Delta x)^2
53	53	\end{aligned}
54	54	{{/formula}}
55	55
56		-... führt nach einigen Umformungen schließlich zu ...
	57	+.. führt nach einigen Umformungen schließlich zu:
57	57
58		-{{formula}}U_n = b^3\frac16(2+\frac3n+\frac1{n^2}){{/formula}}
	59	+{{formula}}U_n = b^3\frac16(2-\frac3n+\frac1{n^2}){{/formula}}
59	59
60		-Berechne den Wert dieser Summe für unterschiedliche //n//.
	61	+Analog ergibt sich für die Obersumme:
	62	+
	63	+{{formula}}O_n = b^3\frac16(2+\frac3n+\frac1{n^2}){{/formula}}
	64	+
	65	+(%class=abc%)
	66	+1. (((Berechne den Wert dieser Summen für unterschiedliche //n//.
61	61	(%class="border slim"%)
62	62	|=//n//| 4 | 8 | 100
63	63	|={{formula}}U_n{{/formula}}|||
64		-
65		-Betrachte den Term und begründe, gegen welchen Wert er für {{formula}}n\rightarrow\infty{{/formula}} strebt.
	70	+|={{formula}}O_n{{/formula}}|||
	71	+)))
	72	+1. Betrachte die Terme und begründe, gegen welchen Wert beide für {{formula}}n\rightarrow\infty{{/formula}} streben.
66	66	{{/aufgabe}}
67	67
68	68	== Bestimmtes Integral ==
69	69
	77	+{{aufgabe id="Bestimmtes Integral" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="7"}}
	78	+Bestimme den Wert des Integrals:
	79	+(%class="abc horiz"%)
	80	+1. ((({{formula}}\int_0^\pi \sin(x) \, dx{{/formula}})))
	81	+1. ((({{formula}}\int_0^{2\pi} \sin(x) \, dx{{/formula}})))
	82	+1. ((({{formula}}\int_0^1 e^x \, dx{{/formula}})))
	83	+{{/aufgabe}}
	84	+
	85	+{{aufgabe id="Bestimmtes Integral vs Fläche" afb="I" kompetenzen="K1, K6" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
	86	+Gegeben ist der Graph einer Funktion //f//, der die x-Achse bei {{formula}}x = 2{{/formula}} schneidet. Die Teilfläche unterhalb der x-Achse im Intervall {{formula}}[0; 2]{{/formula}} beträgt 3 FE, die Teilfläche oberhalb im Intervall {{formula}}[2; 5]{{/formula}} beträgt 7 FE.
	87	+(%class=abc%)
	88	+1. Bestimme den Wert des Integrals {{formula}}\int_{0}^{5} f(x)\,dx{{/formula}}.
	89	+1. Bestimme den geometrischen Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse über {{formula}}[0; 5]{{/formula}} einschließt.
	90	+1. Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
	91	+{{/aufgabe}}
	92	+
70	70	== Eigenschaften ==
	94	+
	95	+{{aufgabe id="Eigenschaften erläutern" afb="II" kompetenzen="K6" quelle="" zeit="6"}}
	96	+Veranschauliche und begründe anhand einer Skizze oder anhand der Flächenbilanz, warum folgende Rechenregeln für stetige Funktionen gelten:
	97	+(%class="abc horiz"%)
	98	+1. ((({{formula}}\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx{{/formula}})))
	99	+1. ((({{formula}}\int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx{{/formula}})))
	100	+{{/aufgabe}}
	101	+
71	71	{{aufgabe id="Integraleigenschaften" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Debora Kemm, Benjamin Kaiser" zeit="10"}}
72		-Ermittle eine aufgsteigende Reihenfolge für den Wert der folgenden Integrale
73		-(%class=abc%)
74		-1. {{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x+4} \, dx{{/formula}}
75		-1. {{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x-4} \, dx{{/formula}}
76		-1. {{formula}}\int_{-5}^{5} (-x^5 + 4x^3-2x)\, dx{{/formula}}
77		-1. {{formula}}\int_{-5}^{5} (\cos(\frac{1}{2}x)-3)\, dx {{/formula}}
	103	+Ermittle eine aufsteigende Reihenfolge für den Wert der folgenden Integrale
	104	+(% style="display:flex"%)(((
	105	+((({{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x+4} \, dx{{/formula}})))
	106	+((({{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x-4} \, dx{{/formula}})))
	107	+((({{formula}}\int_{-5}^{5} (-x^5 + 4x^3-2x)\, dx{{/formula}})))
	108	+((({{formula}}\int_{-5}^{5} (\cos(\frac{1}{2}x)-3)\, dx{{/formula}})))
	109	+)))
78	78	{{/aufgabe}}
79	79
80	80	{{aufgabe id="Bilanz null" afb="II" kompetenzen="K2, K5" quelle="Holger Engels" zeit="8"}}