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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -12,6 +12,12 @@
12 12  Siehe dazu [[Rekonstruktion einer Größe>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]] und [[Obersumme/Untersumme interaktiv>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme#erkunden]]
13 13  {{/lernende}}
14 14  
15 +--Deu­tung des be­stimm­ten In­te­grals (Be­stands­re­kon­struk­ti­on, z. B. zu­rück­ge­leg­te Stre­cke bei ver­än­der­li­cher Ge­schwin­dig­keit, Flä­che)--
16 +--ge­krümm­te Rand­funk­ti­on--
17 +--Nä­he­rungs­wei­se Be­rech­nung von In­te­gra­len (z. B. Käst­chen­zäh­len, Ober- und Un­ter­sum­me)--
18 +Ori­en­tier­ter Flä­chen­in­halt (z. B. Zu- und Ab­fluss­men­ge)
19 +Ei­gen­schaf­ten des be­stimm­ten In­te­grals (In­ter­val­l­ad­di­ti­vi­tät, Li­nea­ri­tät des In­te­grals, In­te­gral­wert ist Null bei un­ge­ra­den Funk­tio­nen und zu x=0 sym­me­tri­schen In­te­gra­ti­ons­gren­zen)
20 +
15 15  == Bestandsrekonstruktion ==
16 16  {{aufgabe id="Gefäß" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
17 17  Ein Gefäß sei zu Beginn der Beobachtung mit //10 l// gefüllt. Es wird folgender Zufluss/ Abluss beobachtet:
... ... @@ -44,25 +44,17 @@
44 44  {{/aufgabe}}
45 45  
46 46  {{aufgabe id="Streifenmethode" afb="II" kompetenzen="" quelle="Holger Engels, Stefanie Walz" zeit=""}}
47 -[[image:Streifenmethode.svg||width=250 class=right]]Das Schaubild zeigt die Normalparabel {{formula}}f(x)= x^2{{/formula}} und die Streifen der Untersumme für //n =4// Streifen und einer Streifenbreite von {{formula}}\frac{b}{n}=\frac{1}{4}{{/formula}}. Allgemein bestimmt sich sich die Untersumme für die Streifen folgendermaßen:
53 +[[Streifenmethode.svg||width=300 class=right]]Das Schaubild zeigt die Normalparabel {{formula}}f(x)= x^2{{/formula}}. Für //n// Streifen und einer Streifenbreite von {{formula}}\frac{b}{n}{{/formula}} ergibt sich die Untersumme folgendermaßen:
48 48  
49 -{{formula}}
50 -\begin{aligned}
51 -U_n &= \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(2\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f(n\cdot\Delta x) \\
52 -\text{} &= \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (2\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot (n\cdot \Delta x)^2
53 -\end{aligned}
54 -{{/formula}}
55 -
56 -... führt nach einigen Umformungen schließlich zu ...
57 -
55 +{{formula}}U_n = \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(2\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f(n\cdot\Delta x){{/formula}}
56 +{{formula}}U_n = \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (2\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot (n\cdot \Delta x)^2{{/formula}}
57 +... führt schließlich zu ...
58 58  {{formula}}U_n = b^3\frac16(2+\frac3n+\frac1{n^2}){{/formula}}
59 -
60 -Berechne den Wert dieser Summe für unterschiedliche //n//.
59 +Berechne den Wert der Summe für unterschiedliche //n//.
61 61  (%class="border slim"%)
62 -|=//n//| 4 | 8 | 100
61 +|=n| 4 | 8 | 100
63 63  |={{formula}}U_n{{/formula}}|||
64 -
65 -Betrachte den Term und begründe, gegen welchen Wert er für {{formula}}n\rightarrow\infty{{/formula}} strebt.
63 +Betrachte den Term und begründe, gegen welchen Wert er für {{formula}}n\rightarrow}infty{{/formula}} strebt.
66 66  {{/aufgabe}}
67 67  
68 68  == Bestimmtes Integral ==