Zum Inhalt springen
Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/10/17 14:38
Von Version 53.2
bearbeitet von Holger Engels
am 2026/10/09 14:26
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 56.2
bearbeitet von Holger Engels
am 2026/10/10 22:04
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -12,12 +12,6 @@
12 12  Siehe dazu [[Rekonstruktion einer Größe>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]] und [[Obersumme/Untersumme interaktiv>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme#erkunden]]
13 13  {{/lernende}}
14 14  
15 ---Deu­tung des be­stimm­ten In­te­grals (Be­stands­re­kon­struk­ti­on, z. B. zu­rück­ge­leg­te Stre­cke bei ver­än­der­li­cher Ge­schwin­dig­keit, Flä­che)--
16 ---ge­krümm­te Rand­funk­ti­on--
17 ---Nä­he­rungs­wei­se Be­rech­nung von In­te­gra­len (z. B. Käst­chen­zäh­len, Ober- und Un­ter­sum­me)--
18 -Ori­en­tier­ter Flä­chen­in­halt (z. B. Zu- und Ab­fluss­men­ge)
19 -Ei­gen­schaf­ten des be­stimm­ten In­te­grals (In­ter­val­l­ad­di­ti­vi­tät, Li­nea­ri­tät des In­te­grals, In­te­gral­wert ist Null bei un­ge­ra­den Funk­tio­nen und zu x=0 sym­me­tri­schen In­te­gra­ti­ons­gren­zen)
20 -
21 21  == Bestandsrekonstruktion ==
22 22  {{aufgabe id="Gefäß" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
23 23  Ein Gefäß sei zu Beginn der Beobachtung mit //10 l// gefüllt. Es wird folgender Zufluss/ Abluss beobachtet:
... ... @@ -50,20 +50,24 @@
50 50  {{/aufgabe}}
51 51  
52 52  {{aufgabe id="Streifenmethode" afb="II" kompetenzen="" quelle="Holger Engels, Stefanie Walz" zeit=""}}
53 -[[Streifenmethode.svg||width=300 class=right]]Das Schaubild zeigt die Normalparabel {{formula}}f(x)= x^2{{/formula}}. Für //n// Streifen und einer Streifenbreite von {{formula}}\frac{b}{n}{{/formula}} ergibt sich die Untersumme folgendermaßen:
47 +[[image:Streifenmethode.svg||width=250 class=right]]Das Schaubild zeigt die Normalparabel {{formula}}f(x)= x^2{{/formula}} und die Streifen der Untersumme für //n =4// Streifen und einer Streifenbreite von {{formula}}\frac{b}{n}=\frac{1}{4}{{/formula}}. Allgemein bestimmt sich sich die Untersumme für die Streifen folgendermaßen:
54 54  
55 55  {{formula}}
56 -\begin{align*}
57 -U_n = \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(2\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f(n\cdot\Delta x)
58 -&= \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (2\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot (n\cdot \Delta x)^2
59 -\end{align*}
50 +\begin{aligned}
51 +U_n &= \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(2\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f(n\cdot\Delta x) \\
52 +\text{} &= \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (2\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot (n\cdot \Delta x)^2
53 +\end{aligned}
60 60  {{/formula}}
61 -... führt schließlich zu ...
55 +
56 +... führt nach einigen Umformungen schließlich zu ...
57 +
62 62  {{formula}}U_n = b^3\frac16(2+\frac3n+\frac1{n^2}){{/formula}}
63 -Berechne den Wert der Summe für unterschiedliche //n//.
59 +
60 +Berechne den Wert dieser Summe für unterschiedliche //n//.
64 64  (%class="border slim"%)
65 -|=n| 4 | 8 | 100
62 +|=//n//| 4 | 8 | 100
66 66  |={{formula}}U_n{{/formula}}|||
64 +
67 67  Betrachte den Term und begründe, gegen welchen Wert er für {{formula}}n\rightarrow\infty{{/formula}} strebt.
68 68  {{/aufgabe}}
69 69