Änderungen von Dokument BPE 13.1 Bestandsrekonstruktion und Orientierter Flächeninhalt

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -12,13 +12,8 @@
12	12	Siehe dazu [[Rekonstruktion einer Größe>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]] und [[Obersumme/Untersumme interaktiv>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme#erkunden]]
13	13	{{/lernende}}
14	14
15		---Deu­tung des be­stimm­ten In­te­grals (Be­stands­re­kon­struk­ti­on, z. B. zu­rück­ge­leg­te Stre­cke bei ver­än­der­li­cher Ge­schwin­dig­keit, Flä­che)--
16		---ge­krümm­te Rand­funk­ti­on--
17		---Nä­he­rungs­wei­se Be­rech­nung von In­te­gra­len (z. B. Käst­chen­zäh­len, Ober- und Un­ter­sum­me)--
18		-Ori­en­tier­ter Flä­chen­in­halt (z. B. Zu- und Ab­fluss­men­ge)
19		-Ei­gen­schaf­ten des be­stimm­ten In­te­grals (In­ter­val­l­ad­di­ti­vi­tät, Li­nea­ri­tät des In­te­grals, In­te­gral­wert ist Null bei un­ge­ra­den Funk­tio­nen und zu x=0 sym­me­tri­schen In­te­gra­ti­ons­gren­zen)
20		-
21	21	== Bestandsrekonstruktion ==
	16	+
22	22	{{aufgabe id="Gefäß" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
23	23	Ein Gefäß sei zu Beginn der Beobachtung mit //10 l// gefüllt. Es wird folgender Zufluss/ Abluss beobachtet:
24	24
...	...	@@ -50,22 +50,54 @@
50	50	{{/aufgabe}}
51	51
52	52	{{aufgabe id="Streifenmethode" afb="II" kompetenzen="" quelle="Holger Engels, Stefanie Walz" zeit=""}}
53		-[[Streifenmethode.svg||width=300 class=right]]Das Schaubild zeigt die Normalparabel {{formula}}f(x)= x^2{{/formula}}. Für //n// Streifen und einer Streifenbreite von {{formula}}\frac{b}{n}{{/formula}} ergibt sich die Untersumme folgendermaßen:
	48	+[[image:Streifenmethode.svg||width=250 class=right]]Das Schaubild zeigt die Normalparabel {{formula}}f(x)= x^2{{/formula}} und die Streifen der Untersumme für //n =4// Streifen und einer Streifenbreite von {{formula}}\frac{b}{n}=\frac{1}{4}{{/formula}}. Allgemein bestimmt sich sich die Untersumme für die Streifen folgendermaßen:
54	54
55		-{{formula}}U_n = \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(2\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f(n\cdot\Delta x){{/formula}}
56		-{{formula}}U_n = \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (2\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot (n\cdot \Delta x)^2{{/formula}}
57		-... führt schließlich zu ...
	50	+{{formula}}
	51	+\begin{aligned}
	52	+U_n &= \Delta x \cdot f(1\cdot\Delta x) + \Delta x \cdot f(2\cdot\Delta x) + ... + \Delta x \cdot f(n\cdot\Delta x) \\
	53	+\text{} &= \Delta x \cdot (1\cdot \Delta x)^2 + \Delta x \cdot (2\cdot \Delta x)^2 + ... + \Delta x \cdot (n\cdot \Delta x)^2
	54	+\end{aligned}
	55	+{{/formula}}
	56	+
	57	+... führt nach einigen Umformungen schließlich zu ...
	58	+
58	58	{{formula}}U_n = b^3\frac16(2+\frac3n+\frac1{n^2}){{/formula}}
59		-Berechne den Wert der Summe für unterschiedliche //n//.
	60	+
	61	+Berechne den Wert dieser Summe für unterschiedliche //n//.
60	60	(%class="border slim"%)
61		-|=n| 4 | 8 | 100
	63	+|=//n//| 4 | 8 | 100
62	62	|={{formula}}U_n{{/formula}}|||
63		-Betrachte den Term und begründe, gegen welchen Wert er für {{formula}}n\rightarrow}infty{{/formula}} strebt.
	65	+
	66	+Betrachte den Term und begründe, gegen welchen Wert er für {{formula}}n\rightarrow\infty{{/formula}} strebt.
64	64	{{/aufgabe}}
65	65
66	66	== Bestimmtes Integral ==
67	67
	71	+{{aufgabe id="Bestimmtes Integral" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="7"}}
	72	+Bestimme den Wert des Integrals:
	73	+(%class=abc%)
	74	+1. {{formula}}\int_0^\pi sin(x) \cdot dx{{/formula}}
	75	+1. {{formula}}\int_0^{2\pi} sin(x) \cdot dx{{/formula}}
	76	+1. {{formula}}\int_0^1 e^x \cdot dx{{/formula}}
	77	+{{/aufgabe}}
	78	+
	79	+{{aufgabe id="Bestimmtes Integral vs Fläche" afb="I" kompetenzen="K1, K6" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
	80	+Gegeben ist der Graph einer Funktion //f//, der die x-Achse bei {{formula}}x = 2{{/formula}} schneidet. Die Teilfläche unterhalb der x-Achse im Intervall {{formula}}[0; 2]{{/formula}} beträgt 3 FE, die Teilfläche oberhalb im Intervall {{formula}}[2; 5]{{/formula}} beträgt 7 FE.
	81	+(%class=abc%)
	82	+1. Bestimme den Wert des Integrals {{formula}}\int_{0}^{5} f(x)\,dx{{/formula}}.
	83	+1. Bestimme den geometrischen Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse über {{formula}}[0; 5]{{/formula}} einschließt.
	84	+1. Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
	85	+{{/aufgabe}}
	86	+
68	68	== Eigenschaften ==
	88	+
	89	+{{aufgabe id="Eigenschaften erläutern" afb="II" kompetenzen="K6" quelle="" zeit="6"}}
	90	+Veranschauliche und begründe anhand einer Skizze oder anhand der Flächenbilanz, warum folgende Rechenregeln für stetige Funktionen gelten:
	91	+(%class=abc%)
	92	+1. {{formula}}\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx{{/formula}}
	93	+1. {{formula}}\int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx{{/formula}}
	94	+{{/aufgabe}}
	95	+
69	69	{{aufgabe id="Integraleigenschaften" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Debora Kemm, Benjamin Kaiser" zeit="10"}}
70	70	Ermittle eine aufgsteigende Reihenfolge für den Wert der folgenden Integrale
71	71	(%class=abc%)